BELLEZZA E CONOSCENZA - La bellezza di un teorema

 

Nella novella "Il Diavolo e Simon Flagg", di Arthur Poges, il protagonista sfida il diavolo a dimostrare l'Ultimo Teorema di Fermat. Il diavolo fa il giro dell'universo per raccogliere ogni frammento di sapere matematico - arriva persino su Saturno, dove c'è un tipo che "assomiglia a un fungo su un paio di trampoli, che risolve le equazioni differenziali alle derivate parziali a memoria" - ma alla fine non sa dare la risposta e si arrende. "Hai vinto, Simon. Neppure io posso imparare abbastanza matematica in un tempo così breve per risolvere un problema tanto difficile".

Nel romanzo "La ragazza che giocava con il fuoco", di Stieg Larsson, la protagonista si avvicina al teorema, ne intuisce una dimostrazione semplice, quasi banale, ma la dimentica dopo esser stata colpita alla testa.

 

Nel romanzo "Un uomo", di Oriana Fallaci, il protagonista arriva a dimostrare l'Ultimo Teorema di Fermat durante gli anni di prigionia, ma non riesce a fissare il suo ragionamento, non avendo a disposizione carta e penna, e così lo perde per sempre.

 

Nell'episodio "Hotel Royale" di "Star Trek: The Next Generation", il capitano Jean-Luc Picard e il comandante William Riker discutono dell'Ultimo Teorema di Fermat, dei tentativi di dimostrazione degli ultimi otto secoli, tutti falliti nonostante la conoscenza e la tecnologia a disposizione.

 

Nel numero 28 degli albi speciali della serie a fumetti "Martin Mystère" - "Numeri immaginati", del luglio 2011 - si racconta la nascita e l'evoluzione del teorema. 

 

Nel film "Indiavolato" ne viene mostrata una possibile applicazione.

 

In due episodi del cartone animato "I Simpson" - "La paura fa novanta VI" e "L'inventore di Springfield" - compaiono dei controesempi plausibili che sembrano smentire il teorema.

 

Nel saggio "La Biblioteca Total", Jorge Luis Borges riferisce che la sua immaginifica biblioteca, proprio perché totale ed esaustiva, accoglie pure la dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat. "Tutto sarà nei suoi volumi ciechi. Tutto: la storia dettagliata del futuro, gli Egiziani di Eschilo, il numero preciso di volte che le acque del Gange hanno riflesso il volo di un falco, il segreto e vero nome di Roma, l'enciclopedia che Novalis avrebbe costruito, i miei sogni e mezzi sogni all'alba del 14 agosto 1934, la dimostrazione del teorema di Pierre Fermat...".

Ma cos'è questo Ultimo Teorema di Fermat, da suscitare così tanti e svariati riferimenti di fuori del mondo matematico?

 

Homer Simpson confuta l'Ultimo Teorema di Fermat, con due controesempi:

3987¹²+4365¹²=4472¹² e 1782¹²+1841¹²=1922¹².

Il trucco degli sceneggiatori è nell'approssimazione tipica delle calcolatrici. 

 

Localizziamoci, prima di tutto.

 

Siamo nel campo Z dei numeri interi: 1, 2, 3, 4, ... e i loro opposti, -1, -2, -3, -4,  ..., separati dallo 0.

 

Quindi, ogni volta che useremo delle lettere al posto dei numeri, ricordiamoci che quelle lettere possono assumere valori solo tra i numeri interi, e a volte addirittura solo tra i numeri naturali N (1, 2, 3, 4, ...) da cui sarà anzi utile partire per facilitare la visualizzazione delle cose.

 

I numeri naturali - d'altra parte - hanno sempre esercitato un fascino particolare sui matematici: "Dio creò i naturali, tutto il resto è opera dell'uomo", diceva Kronecker; e quando Pitagora affermava che "tutto è numero" - dall'armonia musicale alle orbite dei pianeti - si riferiva al ruolo centrale dei numeri naturali nel dar conto di tutto ciò che era osservabile (per via diretta o tramite un loro rapporto).

 

Definiamo allora terna pitagorica un trittico di numeri naturali (x, y, z) legati dalla relazione:

 

x²+y²=z²

 

La terna (3, 4, 5) è pitagorica, perché 3²+4²=5², cioè 9+16=25.

 

Qualcuno starà già avvertendo l'eco di uno scioglilingua imparato a scuola - "la somma dei quadrati costruiti sui cateti è uguale al quadrato costruito sull'ipotenusa" - e, sì, è proprio del teorema di Pitagora che stiamo parlando, soltanto che qui lo riferiamo unicamente alle terne (x, y, z) di numeri naturali.

 

Se si ha un quadrato fatto da 3×3=9 mattonelle, e un altro quadrato fatto da 4×4=16 mattonelle,

allora tutte le mattonelle si possono disporre insieme per formare un quadrato di 5×5=25 mattonelle.

In senso inverso, un quadrato di 25 mattonelle si può smontare in due quadrati di 9 e 16 mattonelle.

 

Le terne pitagoriche sono infinite: (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (99, 4900, 4901) e divertitevi pure a scovarne altre, se ne avete voglia.

 

Ma cosa accade se ci spostiamo dalla seconda alla terza dimensione, se ai quadrati sostituiamo i cubi? Possiamo scomporre il volume di un cubo nella somma di volumi di cubi più piccoli? Possiamo trovare una terna di numeri naturali (x, y, z) che soddisfa l'equazione x³+y³=z³?

 

E perché limitarsi alle tre dimensioni? Con un po' di fantasia possiamo immaginare - anche se non più visualizzare - una figura quadridimensionale equivalente al quadrato (in due dimensioni) o al cubo (in tre); e una volta compiuto il balzo dalla terza alla quarta dimensione, e quindi abbandonata la percezione fisica, è un attimo a generalizzare il discorso a oggetti n-dimensionali (che siano l'estensione di quadrati e cubi); i matematici li chiamano ipercubi, e possiamo allora chiederci se lo spazio occupato da un ipercubo sia scomponibile nella somma degli spazi occupati da due ipercubi più piccoli, se esistano cioè delle terne di numeri naturali (x, y, z) che soddisfano l'equazione xⁿ+yⁿ=zⁿ.

Se poi accettiamo di abbandonare anche l'interpretazione geometrica, allora possiamo rilassare il problema e domandarci se esistano terne di numeri interi (x, y, z) che siano soluzione dell'equazione xⁿ+yⁿ=zⁿ, con n numero naturale.

 

Sono interrogativi che ci catapultano indietro di oltre quattro secoli, e ci mettono faccia a faccia col protagonista della nostra storia, l'uomo da cui è iniziato tutto: Pierre de Fermat.

 

"E' impossibile scrivere un cubo come somma di due cubi

o una quarta potenza come somma di due quarte potenze

o, in generale, nessun numero che sia una potenza maggiore di due

può essere scritto come somma di due potenze dello stesso valore.

Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema 

che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina"

(Pierre de Fermat)

Era nato in Francia, a Beaumont-de-Lomagne, il 17 agosto 1601, in una famiglia che lo spinse da subito verso una carriera giudiziaria; nel 1631 diventò consigliere al Parlamento di Tolosa, esponente dell'elite sociale, col privilegio di far precedere il cognome dalla particella nobiliare "de".

La sua passione era però la matematica. Non era un accademico, ma rimaneva un raffinato cultore della materia, e la sua influenza sulla storia della disciplina fu davvero notevole: precorse il calcolo differenziale col suo metodo per l'individuazione di massimi e minimi delle funzioni (e Newton ammise di aver sviluppato la sua teoria in base al "metodo del signor Fermat di ricavare le tangenti"); condusse ricerche rilevanti in ciò che sarebbe poi diventata la teoria dei numeri; scoprì i principî della geometria analitica, indipendentemente da Cartesio; e il suo carteggio con Pascal è riconosciuto come il momento di concepimento della teoria della probabilità.

 

Eric Temple Bell lo definì il principe dei dilettanti, ma non tutti ne avevano una così alta considerazione. Era solo uno "sbruffone", secondo René Descartes, e l'inglese John Wallis ne parlava come di "quel maledetto francese". Ciò che più irritava era la sua abitudine a presentare un problema, nascondendone la soluzione: stuzzicava ad esempio i suoi corrispondenti a trovare un quadrato e un cubo la cui differenza fosse uguale a 2 (x²-y³=2) oppure a 4  (x²-y³=4) e sosteneva di sapere come fare (di avere un modo per trovare i valori di x e y) ma non lo rivelava.

 

Fermat s'imbatté in una ricca serie di problemi sul teorema di Pitagora e sulle terne pitagoriche, nello studio del libro II della "Arithmetica" di Diofanto. Cominciò a giocherellare con l'equazione x²+y²=z², nella speranza di scoprire qualcosa che fosse sfuggito ai greci, e improvvisamente - in un lampo di genialità che lo avrebbe reso immortale - generalizzò l'equazione x²+y²=z² nella forma xⁿ+yⁿ=zⁿ, e sul margine della pagina - accanto al Problema 8 - annotò l'impossibilità di una soluzione (x, y, z) in numeri interi, per n maggiore di 2.

 

"È impossibile scrivere un cubo come somma di due cubi o una quarta potenza come somma di due quarte potenze o, in generale, nessun numero che sia una potenza maggiore di due può essere scritto come somma di due potenze dello stesso valore". lI genio birichino lasciò poi cadere un commento che avrebbe ossessionato generazioni di matematici. "Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina". 

 

Alla morte di Fermat - nel 1665 - il figlio maggiore Clément-Samuell volle preservare e divulgare le scoperte del padre. Impiegò cinque anni a raccogliere appunti e lettere, e nel 1670 - a Tolosa - uscì un'edizione speciale dalla "Aritmetica" di Diofanto, col testo originale in greco e la traduzione latina di Bachet, corredata da quarantotto Osservazioni di P. de Fermat. La seconda era destinata a esser ribattezzata "Ultimo Teorema di Fermat".

 

L'edizione del 1670 della "Arithmetica" di Diofanto

col commento di Fermat (Observatio Domini Petri de Fermat) che enuncia il teorema.

  

La zampata finale di Fermat - "dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema che non può essere contenuta nel margine troppo stretto della pagina" - diventò nel tempo un cliché, adattabile alle situazioni più disparate.

 

Hardy - un'autorità in fatto di teoria dei numeri - si divertì a sugellare una sua visita a Copenaghen con l'invio di una cartolina ad Harold Bohr, altro teorico dei numeri e fratello del fisico Niels. "Ho la dimostrazione dell'ipotesi di Riemann. La cartolina è troppo piccola per la dimostrazione".

 

Nel 1988 si sparse la voce della dimostrazione del teorema, a opera del giapponese Yoichi Miyaoka. La notizia valicò l'ambiente matematico, e la stampa americana gli diede risalto, ma a un controllo più rigoroso il ragionamento di Miyaoka si rivelò fallace, e sui muri di una stazione della metropolitana di New York comparve un graffito ispirato dal polverone mediatico intorno il teorema: "xⁿ+yⁿ=zⁿ: nessuna soluzione. Ho una dimostrazione meravigliosa di questo fatto, ma adesso non posso scriverla perché sta arrivando il mio treno".

 

Google riprese la frase di Fermat per celebrare il 410° anniversario della nascita del matematico, aggiornandola ai tempi. "Dispongo di una meravigliosa dimostrazione di questo teorema, ma questo doodle è troppo piccolo per contenerla".

Il doodle di Google con la versione tecnologica dell'affermazione di Fermat.

 

Fermat aveva in realtà dimostrato solo il caso n=4 (l'assenza di soluzioni intere per x⁴+y⁴=z⁴) e però molti altri suoi risultati, soltanto affermati e non dimostrati, erano poi stati effettivamente provati dai matematici che vi si erano dedicati.

Tutti tranne uno: l'equazione xⁿ+yⁿ=zⁿ non ammette soluzioni intere (x, y, z) se n>2.

Da qui il nome "Ultimo Teorema di Fermat", l'ultima delle sue osservazioni rimasta da dimostrare.

 

 

L'Ultimo Teorema di Fermat,

in un francobollo commemorativo francese.

 

I matematici s'incaponirono sul problema, non tanto per un genuino interesse, quanto come reazione a una sfida resa intrigante dalla semplicità della formulazione e dal fatto che un dilettante - sia pure il principe dei dilettanti - avesse affermato di avere in mano una "meravigliosa dimostrazione".

 

Nessuno, però, era in grado di ricostruire la (presunta) soluzione di Fermat. Ciò che si realizzò piuttosto in fretta fu la possibilità di limitarsi ai valori di n corrispondenti a numeri primi: se si fosse riuscito a dimostrare che l'equazione xⁿ+yⁿ=zⁿ non ammetteva soluzioni (x, y, z) per n numero primo, allora il teorema sarebbe risultato vero - in automatico - per qualsiasi n naturale maggiore di 2.

 

Ma un secolo dopo la morte di Fermat esistevano dimostrazioni solo per tre casi specifici (n=3, 5, 7) e visto che i numeri primi sono infiniti...

Il caso n=3 (l'assenza di soluzioni intere per x³+y³=z³) fu dimostrato da Eulero, nel 1753.

Con l'equazione pitagorica "al quadrato", x²+y²=z², 

la sfida era nel ridisporre le mattonelle di due quadrati per formarne un terzo più grande.

Con la versione "al cubo", x³+y³=z³,

la sfida è ridisporre i mattoni che formano due cubi per formarne un terzo più grande.

Ma questa nuova sfida è impossibile da vincere:

nella migliore delle eventualità, ci sarà sempre un mattone da togliere o da aggiungere. 

 Nell'esempio, un cubo di volume 6×6×6 aggiunto a un cubo di volume 8×8×8

mette a disposizione un totale di 216+512=728 mattoncini.

Ma per formare un cubo di volume 9×9×9 servono 729 mattoncini,

e quindi ne viene a mancare uno, rispetto a quelli a disposizione. 

 

Ci volle una donna - Sophie Germain, che scriveva sotto lo pseudonimo maschile "Monsieur Le Blanc" - per arrivare a un primo risultato generale, indipendente da un valore specifico dell'esponente: tutti gli n uguali a un numero primo p tale che 2p+1 è ancora un numero primo - i cosiddetti primi di Germain - erano seri candidati a confermare l'impossibilità dell'uguaglianza xⁿ+yⁿ=zⁿ.

Un francobollo francese dedicato al Sophie Germain

(e al suo contributo alla dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat).

  

 

 

 

Dal romanzo "Il teorema del pappagallo", di Denis Guedj. 

 

Ma - insomma - cosa c'è di così difficile in questo Ultimo Teorema di Fermat? Cosa stiamo dicendo, in fondo? Che un (iper)cubo non si può scomporre in due (iper)cubi più piccoli. Cosa c'è di così drammaticamente complicato?

 

L'argomento è sottile, ma dirimente.

Un'affermazione complicata imporrà il ricorso a una matematica complicata, per essere dimostrata.

 

Ma un'affermazione semplice - fosse pure così semplice da essere alla portata di tutti - non è detto che si possa dimostrare con una matematica semplice, elementare anch'essa e alla portata di tutti: la semplicità della tesi non si traduce automaticamente nella semplicità della dimostrazione.

 

Parliamo di oggetti geometrici elementari - quadrati, cubi e loro generalizzazioni a dimensioni superiori - e le misure di questi oggetti - dei lati, delle aree, dei volumi - sono espressi da numeri naturali, i numeri più semplici che vi siano.

 

Più in generale, stiamo maneggiando numeri interi, collegati tra loro da operazioni matematiche elementari (somma ed elevamento a potenza).

 

Ma se pensiamo di venire a capo dell'Ultimo Teorema di Fermat con la sola matematica dei numeri interi, se vogliamo affrontare il problema sommando ed elevando a potenza i soli numeri interi, se crediamo - insomma - di dimostrare Fermat nello stesso ambiente dove Fermat enuncia la sua tesi, allora ci auto-condanniamo a vagabondare in un territorio sterile.

 

Il fatto che un problema matematico sia collocato in un certo ambiente X non significa necessariamente che la sua soluzione si trovi in X. Spesso - anzi - bisogna evadere da X, dirigersi verso altri ambienti - Y oppure Z  oppure K - per venire a capo di ciò che si trova in X.

 

E di là del tecnicismo - che uno può capire o non capire, in tutto o in parte - è il più generale messaggio filosofico che va colto e meditato a fondo.

 

Dal libro "Passione per Trilli", di Roberto Lucchetti.

 

Se cerchiamo le cose solo nei posti dove ci aspettiamo che siano, spesso non le troviamo.

Se cerchiamo la dimostrazione di Fermat tra i numeri interi, è sicuro che non la troveremo.

Siamo partiti dall'insieme dei numeri naturali N={1, 2, 3, ... n, ...}, per avere una immediata interpretazione geometrica del teorema.

 

Ci siamo poi spostati nell'insieme dei numeri interi Z={... -n, ... -3, -2, -1, 0 , 1, 2, 3, ... n, ...} - che rappresenta un'estensione di N - dove il problema è formulato in generale.

 

Dopo Z - se vogliamo proseguire - incontriamo l'insieme dei numeri razionali Q={m/n, con n e m appartenenti a Z}, quei numeri che possono presentarsi con o senza la virgola a seconda che m sia o no un multiplo esatto di n (e quindi ha Z come sottoinsieme) e se si presentano con la virgola allora le loro cifre decimali possono essere in numero finito (ad esempio: 1,65) oppure infinite ma con un periodo noto (ad esempio: 8,325 con 325 periodico) eventualmente preceduto da un anti-periodo (ad esempio: 8,29325, con 325 periodico).

Esiste poi l'insieme I degli irrazionali, quei numeri che non si possono esprimere come rapporto tra due numeri interi: le loro cifre dopo la virgola sono infinite, ma non seguono nessun ordine, non si ripetono, non sono prevedibili; questi numeri non si possono scrivere allineando cifre, e per ciascuno serve un simbolo specifico: √2 (radice quadrata di 2), φ (sezione aurea), e (numero di Nepero), π (pi-greco) e così via.

L'unione di Q e I crea l'insieme R dei numeri reali, che ingloba tutto ciò che si è visto sinora (dentro R c'è Q che ha dentro Z che a sua volta ha dentro N, oltre a I) e rappresenta l'insieme degli ordinari numeri con cui gli studenti si confrontano a partire dalle scuole medie (e a cui tutti noi siamo assuefatti nella vita di ogni giorno, anche se non ci preoccupiamo di chiamarli con i loro nomi propri).

 

I nomi delle classi di numeri ne riflettono la percezione che se ne aveva al momento del battesimo.

Dei numeri "naturali" si fa uso in modo spontaneo per la "naturale" esigenza del contare.

I numeri "razionali" derivano il loro nome dalla voce latina "ratio", nel suo significato di rapporto:

gli arabi li chiamavano "frazioni", dal latino "fractiones", alludendo al significato di rotto, spezzato

(si spezza per esempio 5 in 5 parti - i quinti - e se ne prendono 3; si è ottenuto il numero 3/5;

5 è il "denominatore", che denomina il numero rotto;

3 è il "numeratore", che numera quanti quinti sono stati presi).

I numeri "irrazionali" portano uno tra i nomi più infelici,

perché la parola, pur riferendosi solo all'impossibilità di esprimerli sotto forma di frazione,

finisce per evocare l'accezione più diffusa del termine

- irrazionale come irragionevole, insensato, incomprensibile -

tanto più che la loro natura causò notevoli turbamenti alla scuola pitagorica

(per cui era inconcepibile che nella geometria, espressione della realtà fisica,

potessero esistere grandezze - come ad esempio la diagonale di un quadrato unitario -

che non ammettessero una rappresentazione tramite rapporto di numeri interi).

I numeri reali sono di regola disposti su una retta, nell'idea che a ogni punto (della retta) sia associabile un numero (reale).

 

 

 

Se ci siamo allungati così tanto sulla struttura dei numeri - se partendo da N siamo arrivati a parlare di R - si potrà pensare che la dimostrazione di Fermat imponga di esplorare la retta R dei numeri reali, con tutto l'armamentario che di regola vi si associa (il calcolo infinitesimale, i limiti, le derivate, gli integrali). 

 

E invece no: la retta reale non è ancora sufficiente, e serve trasferirsi sul piano C dei numeri complessi.

 

E cosa sono i numeri complessi? Il nome dà l'idea di oggetti complicati, ma in realtà - almeno sul piano formale - la loro introduzione è immediata. Un numero complesso c è un oggetto matematico del tipo:

 

c=a+ib

 

dove a e b sono numeri reali (quelli che conosciamo, a cui siamo abituati) e i è l'inquietante radice quadrata di -1.

 

Ad esempio:

 

7+6i       (a=7, b=6)

 

-5+2,8i        (a=-5, b=2,8)

 

1+i          (a=1, b=1)

 

9,42+πi        (a=9,42, b=π)

  

I numeri complessi hanno quindi bisogno di un piano, per essere visualizzati: l'asse orizzontale per la parte "reale" (il numero a) e l'asse verticale per la parte cosiddetta "immaginaria" (il numero b da agganciare a i); e ovviamente, se in un numero complesso c=a+ib si pone b=0 - se si azzera la sua parte immaginaria - si ritrova formalmente il numero reale a, per cui si può dire che l'insieme dei numeri complessi C è un ampliamento dell'insieme R. 

 

  

Quale sia però il significato profondo della generalizzazione da R a C - quale la ragione che spinge a creare un oggetto matematico del tipo a+ib che ritrova il semplice numero a come caso particolare - è questione più delicata.

Ne parleremo nel presentare la più bella formula di tutta la matematica, ma ora - per quel che rileva qui, adesso - è sufficiente richiamare l'aforisma di Jacques Solomon Hadamard: "la via più breve fra due verità sulla retta dei numeri reali passa attraverso il piano complesso".

 

Proprio così, per quanto buffo che possa sembrare: il piano dei numeri complessi C è il luogo dove abbiamo maggiori speranze di trovare la verità di Fermat, è nel piano complesso C che dobbiamo muoversi se vogliamo dimostrare che xⁿ+yⁿ=zⁿ non ha soluzioni per (x, y, z) interi e n>2.

 

Dopo i progressi realizzati da Sophie Germain, l'Accademia Francese delle Scienze offrì una serie di premi - sia simbolici che materiali: una medaglia d'oro e 3.000 franchi - a chi fosse riuscito a risolvere il mistero dell'Ultimo Teorema di Fermat. 

 

La notizia travalicò i circoli matematici e monopolizzò le discussioni nei salotti parigini, su chi fossero i concorrenti con reali possibilità di spuntarla, su quali strategie avessero in testa, su quanto fossero vicini alla dimostrazione. 

 

Lunedì 1 marzo 1847 andò in scena la seduta più drammatica dell'Accademia.

  

Gabriel Lamé chiese la parola. Aveva già dimostrato il caso n=7, e ora, dalla tribuna su cui era salito, proclamò di trovarsi a un passo dalla dimostrazione completa: mancavano solo alcuni dettagli, e poi l'Ultimo Teorema di Fermat sarebbe stato definitivamente crollato 

 

L'uditorio rimase stupefatto, a eccezione di un solo spettatore, Augustin Louis Cauchy, il più celebre matematico parigino. Prese la parola dopo Lamé, e annunciò di aver lavorato anche lui sul problema e di essere anche lui sul punto di pubblicare una dimostrazione completa.

 

Entrambi - a quel punto - realizzarono la necessità di anticipare il rivale, e anche se nessuno dei due disponeva di ciò che diceva di avere, entrambi depositarono all'Accademia le rispettive dimostrazioni in buste sigillate, dopo appena tre settimane dal loro annuncio.

 

La comunità matematica smaniava per conoscere la dimostrazione completa, e in tanti speravano che a vincere fosse Lamé, perché Cauchy era per tutti una figura parecchio sgradevole - presuntuoso, bigotto e, secondo alcuni, persino ladro di risultati matematici - tollerata giocoforza per la sua intelligenza fuori dal comune.

 

Poi, il 24 maggio, Joseph Liouville annunciò una notizia che lasciò tutti esterrefatti: il matematico tedesco Ernst Kummer - un teorico dei numeri di primissimo rango, perfettamente al corrente del duello in corso all'Accademia Francese - aveva analizzato i pochi dettagli resi pubblici da Cauchy e Lamè, e vi aveva trovato un errore fatale; Lamé e Cauchy si erano infilati nello stesso vicolo cieco, avevano erroneamente attribuito ai numeri complessi una proprietà esclusiva dei numeri reali, la cosiddetta fattorizzazione unica.

 

Scegliete a piacere un numero naturale n: 3, 15, 72, 199, 1.005, o vedete voi che altro. Avrete due sole possibilità: o il vostro numero è un numero primo oppure è esprimibile come (fattorizzabile nel) prodotto di numeri primi, e questa fattorizzazione è unica, vi è cioè una sola combinazione di numeri primi che moltiplicati l'uno per l'altro dà come risultato il numero n che avete scelto.

 

Se avete scelto il 3, allora vostro numero è primo; se avete scelto il 15, allora avete 15=3×5 (e non vi è altro modo di esprimere il 15 come prodotto di altri numeri primi); col 72 avete 2³×3² (senza altre possibilità); 199 è primo; 1.005=3×5×67.

Questo risultato è noto - emblematicamente - come teorema fondamentale dell'aritmetica, perché assicura di poter creare in modo univoco tutti i numeri naturali, a partire da moltiplicazioni di numeri primi. 

 

Sia Lamé che Cauchy avevano immaginato che la stessa proprietà valesse per i numeri complessi, ma avevano immaginato male: il numero 12 - per dire - ammette una fattorizzazione unica in numeri naturali (12=3×4), ma se ci spostiamo nel campo dei numeri complessi allora esistono almeno due modi di rappresentarlo:

 

12 = (1+11i)×(1-11i) 

 

12=(2+8i)×(2-8i)

 

Ognuno lo può verificare da sé con l'esecuzione dei calcoli (alla fine semplici addizioni e moltiplicazioni, con l'accortezza di sostituire -1 ogni volta che si incontra i²).

 

Non serve essere matematici raffinati per intuire che le drammatiche conseguenze della perdita dell'unicità di una rappresentazione.

 

E la perdita della fattorizzazione unica - in effetti - indeboliva notevolmente le dimostrazioni di Lamé e Cauchy, anche se non sembrava distruggerle del tutto. Fino al numero primo n=31 - a ben vedere - non costituiva un problema. Ma col numero primo successivo, n=37, subentravano delle difficoltà. Anche i casi n=59 e n=67 si presentavano ostici. Questi numeri primi più rognosi di altri - ribattezzati primi irregolari - si trovavano sparsi un po' ovunque, e rappresentavano l'intoppo da rimuovere per arrivare a una dimostrazione completa.

 

Ma Kummer mostrò l'inesistenza di procedure matematiche per sbarazzarsi in un sol colpo dei primi irregolari, per cui li si doveva affrontare uno a uno, con tecniche ad-hoc, un esercizio lento, penoso e soprattutto inutile, perché i primi irregolari sono anch'essi infiniti, e quindi ne sarebbero rimasti sempre un'infinità da sfidare, per quanti se ne potevano domare sino alla fine dei tempi. 

 

Lamé rimase devastato dalle osservazioni di Kummer. Realizzò che gli sarebbe bastato dialogare un po' di più con altri matematici, per evitare un errore che ora - col senno del poi - gli sembrava banale. "Se solo tu fossi stato a Parigi o io fossi stato a Berlino" - scriveva al collega tedesco Dirichlet - "tutto questo non sarebbe successo".

 

Cauchy - per parte sua - rifiutò di accettare la sconfitta. Giudicava la sua dimostrazione tecnicamente superiore a quella di Lamé, perché meno dipendente dall'ipotesi di fattorizzazione unica, e quindi potenzialmente ancora valida finché le conclusioni di Kummer non fossero state verificate a fondo. Continuò a pubblicare articoli sull'argomento per diverse settimane, ma alla fine dell'estate anche lui ammutolì.

 

 

Dal romanzo "Il teorema del pappagallo", di Denis Guedj.

 

L'argomento di Kummer sferrava un colpo mortale a un'intera generazione di matematici, e fatalmente subentrò una generale sfiducia sulla possibilità di trovare una dimostrazione in tempi ragionevoli.

 

Ma nel 1908 il teorema tornò alla ribalta per merito di un tal Paul Wolfskehl, un industriale tedesco col pallino della matematica, membro di una famiglia dedita al mecenatismo.

 

Nella versione più suggestiva e ricorrente, Wolfskehl si era follemente innamorato di una donna che rifiutava ogni sua attenzione. Sprofondò nello sconforto, sino al punto di meditare il suicidio. Da persona meticolosa - aveva pur sempre la passione per la matematica! - pianificò ogni cosa nei minimi dettagli. Sistemò gli affari in sospeso, prese congedo dagli amici più stretti tramite delle lettere, e stabilì di togliersi la vita allo scoccare della mezzanotte.

 

Attese la sua ora sfogliando alcuni testi di matematica, in particolare il lavoro di Kummer che aveva demoralizzato l'intera comunità matematica, e pensò di avervi individuato una falla, una sbavatura di ragionamento, un assunto indimostrato. Forse Kummer si era sbagliato, forse Fermat non era invincibile!

  

Lanciò un'occhiata all'orologio a pendolo: gli restava ancora un po' di tempo, quanto bastava per dimostrare che forse Kummer si era sbagliato. Che vita meravigliosa sarebbe stata, la sua, se nell'ultima ora fosse riuscito a esibire un errore nell'opera di un così grande matematico!

Ripercorse riga dopo riga il testo di Kummer, e arrivato alla fine dovette arrendersi: Kummer non si era sbagliato, il suo lavoro era impeccabile. Alzò gli occhi dai fogli, esausto, e si massaggiò le tempie. Era l'alba, la mezzanotte era alla spalle, e lui era vivo. Chiuse il testo di Kummer, piegò i fogli, ripose la pistola, strappò il testamento e dimenticò la fanciulla. Era tornato al mondo e sentiva di avere un debito con Fermat, col suo suo Ultimo Teorema. Decise così di istituire un premio in denaro per compensare chi gli aveva salvato la vita, purché la dimostrazione arrivasse entro il 13 settembre 2007, perché il 13 settembre 1907 era il giorno in cui aveva deciso di suicidarsi.

 

La Regia Società di Scienze di Gottinga fu incaricata di verificare le dimostrazioni che ambivano al premio Wolfskehl.

 

I matematici storsero la bocca e scrollarono le spalle: erano consapevoli dell'estrema difficoltà del problema, lo consideravano una causa persa e non avevano intenzione di gettare alle ortiche la propria carriera, assecondando i vaneggiamenti di uno sciocco.

 

In compenso la prospettiva del denaro spinse una marea di dilettanti a tentare una dimostrazione, e non mancarono stranezze e curiosità: ci fu chi inviò la prima parte della soluzione e promise la seconda solo dopo il pagamento anticipato di mille marchi; chi assicurò di versare l'1% dei profitti realizzabili a seguito dei diritti editoriali che ne sarebbero derivati, ma solo la Regia Società l'avesse appoggiato adesso, e minacciò di inviare la dimostrazione a un dipartimento di matematica russo per privarli della gloria della scoperta; ogni concorrente era persuaso di aver risolto un problema plurisecolare di collaudata difficoltà, ma tutti avevano commesso errori, talvolta grossolani e talvolta sottili.

Il professor Landau - responsabile del processo di verifica - ordinò la predisposizione di un centinaio di biglietti prestampati, per togliersi dall'imbarazzo di rispondere ogni volta a un nuovo mattoide.

 

Il teorema è aggredito con la forza bruta, con l'avvento dei computer: ai calcolatori si dà il compito di setacciare quantità crescenti di terne (x, y, z) e di esponenti n, ché in fondo basta trovare una sola combinazione (x, y, z, n) per cui l'equazione xⁿ+yⁿ=zⁿ è soddisfatta, per decretare la falsità del teorema.

 

Niente da fare: l'esplorazione non sortisce effetto. Davvero deprimente, perché la congettura non è confutata, ma nemmeno dimostrata.

 

Fa piacere sapere che esistono milioni di terne e di esponenti che non si legano tra loro come richiesto, ma se quella terna e quell'esponente si annidassero tra i numeri non ancora esaminati? E ci saranno sempre terne ed esponenti non ancora esaminati, perché le verifiche eseguibili possono essere tante quante si vuole, ma resteranno sempre in numero finito, laddove l'universo dei numeri interi è infinito, e la bellezza della matematica sta proprio nel poter fare infinite affermazioni con un numero finito di parole, nel fissare - con un numero finito di passaggi - una verità che una vita intera non basterebbe ad accertare tramite esperimenti. 

  

L'infinito non si conquista con la forza bruta di un computer - capace soltanto di masticare numeri su numeri - ma con l'arte del ragionamento teorico, con un paziente e tenace lavoro di dimostrazione.

  

 

 

Col passare del tempo l'Ultimo Teorema di Fermat perse parecchio smalto: appariva sempre più come un enigma curioso, un rompicapo impossibile, di grande valore storico e a elevato impatto emotivo, ma irrilevante per i settori matematici d'avanguardia.

Siamo a uno snodo logico fondamentale: i matematici attribuiscono importanza a un problema in ragione del suo impatto sul resto della disciplina; un teorema può anche essere marginale in sé, ma se diventa il punto d'appoggio per produrre un intera classe di altri teoremi, se può ispirare linee di ricerca o aprire nuovi settori, se può servire come gradino per arrivare a numerosi risultati significativi, allora merita di essere analizzato a fondo, e anche se alla fine non sarà dimostrato, il suo studio avrà comunque prodotto della matematica interessante, e quindi sarà valsa la pena affrontarlo; "la ricerca della verità è più preziosa del suo possesso" - sosteneva Albert Einstein - a voler dire che la verità in sé di una specifica affermazione è spesso solo un pretesto per arrivare a risultati di gran lunga più interessanti di quell'affermazione, attraverso il processo di ricerca della sua verità. 

 

Va interpretato in quest'ottica il rifiuto di Gauss di cimentarsi con Fermat. "Vi confesso che il Teorema di Fermat come proposizione isolata mi interessa veramente poco" - rispondeva all'astronomo Olbers, che lo esortava a competere per il premio offerto dall'Accademia di Parigi - "perché potrei facilmente buttar giù una moltitudine di proposizioni del genere, che uno non possa né dimostrare né trattare".

Quel che il principe dei matematici voleva dire - il senso della sua presa di distanza - è che dare importanza al teorema più famoso del principe dei dilettanti avrebbe richiesto una fatica immane, senza che la dimostrazione - semmai fosse stata raggiunta - avesse aperto nuove prospettive, offerto nuove suggestioni, incentivato lo studio e l'approfondimento.

Lo stesso atteggiamento lo si ritrova in David Hilbert, figura di riferimento della matematica del '900. "Prima di cominciare, dovrei impegnare tre anni di studio intensivo, e non ho tutto questo tempo da sprecare per un probabile fallimento". E il fallimento - beninteso - non era nel non trovare la dimostrazione, ma nel non produrre nulla di interessante mentre la si cercava.

 

Qualunque problema va quindi bene, purché sia collegato a quanti più problemi possibili, o almeno non sia fine a sé stesso.

Hilbert fu efficace sino al paradosso nell'esprimere il punto di vista. "Il traguardo più importante per il progresso tecnologico del ventesimo secolo è catturare una mosca sulla luna. Perché la soluzione dei problemi ausiliari che, a tal fine, occorre risolvere, implica la soluzione di quasi tutte le difficoltà materiali del genere umano".

 

L'Ultimo Teorema di Fermat - da quest'angolo visuale - era solo un rebus, una sciarada, un gioco interessante in sé, che però nasceva e moriva lì, l'esatto contrario delle sfide con cui un matematico vuole cimentarsi.

 

Poi, a metà degli anni '80 del ventesimo secolo, accadde un fatto straordinario, che trasformò Fermat in una mosca di Hilbert a spasso sulla luna dell'universo matematico: il tedesco Gerhard Frey e l'americano Ken Ribet scoprirono un collegamento tra l'Ultimo Teorema di Fermat e un problema noto come "congettura di Taniyama-Shimura". In poche, essenziali parole: dimostrare l'Ultimo Teorema di Fermat equivaleva a provare la verità della congettura di Taniyama-Shimura.

 

 

C'è da rimanere sconcertati, non vi pare?

 

Possibile che questa congettura così astrusa, dall'enunciato incomprensibile, sia collegata a un'affermazione così semplice come l'Ultimo Teorema di Fermat?

 

Fermat dice che non troveremo mai un (iper)cubo scomponibile in due (iper)cubi più piccoli. Semplice, chiaro, cristallino.

 

E Taniyama e Shimura dicono che... già, cosa dicono? Boh!

 

Mettiamola così: Taniyama e Shimura dicono che tutte le equazioni ellittiche potrebbero essere legate a forme modulari. Mah. Non è che ne sappiamo molto più di prima. Cos'è un'equazione ellittica? E cos'è una forma modulare? Boh.

 

Mettiamola così: abbiamo due entità matematiche - le equazioni ellittiche da un alto, le forme modulari dall'altro, qualunque cosa siano - che sino a quel momento si immaginavano separate, senza legami. Taniyama e Shimura ci dicono ora che queste due entità potrebbero essere tra loro intimamente connesse.

 

Un'equazione ellittica è un'equazione nella forma y²=x³+ax²+bx+c.

Questo tipo di scrittura è familiare a chi ha studiato geometria alle superiori,

dove sono presentate diverse equazioni simili, per descrivere oggetti standard:

(x-a)²+(y-b)²=r²: equazione della circonferenza;

a²x²+b²y²=a²b²: equazione dell'ellisse;

a²x²-b²y²=a²b²: equazione dell'iperbole;
y=ax²+bx+c: equazione della parabola;

ax+by+c=0: equazione della retta.

Le equazioni ellittiche sono simili nello spirito, anche se più complicate,

e possono dar luogo a figure a una o a due componenti, come mostrato sopra.

Una forma modulare è una costruzione matematica "complessa":

è definita da una funzione complessa f(s) di variabile complessa s,

con proprietà tecniche che gli conferiscono un'estetica particolare.

E' caratterizzata, in dettaglio, da uno smisurato grado di simmetria,

come si può apprezzare nell'immagine scelta a titolo d'esempio. 

Taniyama e Shimura congetturarono che curve ellittiche e forme modulari

potessero essere due prospettive diverse su una stessa realtà,

due modi diversi di dire la stessa cosa.

I collegamenti tra argomenti in apparenza sconnessi sono della più grande rilevanza, in matematica come in ogni altra disciplina, perché suggeriscono l'esistenza di una verità sottostante più profonda, che li arricchisce entrambi.

 

Da una parte abbiamo il mondo delle equazioni ellittiche, dall'altra il mondo delle forme modulari. Entrambi i mondi erano stati studiati a fondo, ma separatamente. I matematici impegnati con le equazioni ellittiche non erano granché pratici delle forme modulari e viceversa. Poi arriva la congettura di Taniyama-Shimura - l'ipotesi grandiosa che vi sia un ponte tra i due mondi - cosicché gli uni possono esaminare le creazioni degli altri e viceversa, e magari scoprire che semplici intuizioni nel mondo modulare si traducono in verità profonde nel mondo ellittico, o che un problema insolubile in un mondo diventa un problema standard nel mondo speculare.

 

La congettura di Taniyama-Shimura aveva perciò un valore immenso di per sé, pur confinata agli specialisti, ma ora, grazie al duo Frey-Ribet, la sua importanza cambiava d'ordine di grandezza: risolvere Taniyama-Shimura significava far crollare Fermat, perché dopo il ponte tra equazioni ellittiche e forme modulari, ora ne veniva gettato un altro con un problema storico della matematica, interpretabile sotto una nuova luce.

 

Fermat: non potete scomporre un (iper)cubo nella somma di (iper)cubi più piccoli.

Taniyama-Shimura: tutte le equazioni ellittiche potrebbero essere legate a forme modulari.

Frey-Ribet: se Taniyama-Shimura hanno ragione, allora quel che dice Fermat è vero. 

Wiles: io dimostrerò che Taniyama-Shimura hanno ragione, io dimostrerò l'Ultimo Teorema di Fermat.

 

L'Ultimo Teorema di Fermat afferma che l'equazione:

 

xⁿ+yⁿ=zⁿ

 

non ha soluzioni per (x, y, z) interi e n>2.

 

Ma cosa accadrebbe se l'Ultimo Teorema fosse falso? Semplicemente esisterebbe una terna (A, B, C) per cui:

 

Aⁿ+Bⁿ=Cⁿ

 

Gerhard Frey diede allora un nuovo aspetto all'equazione di Fermat, come diretta conseguenza dell'esistenza dell'ipotetica soluzione (A, B, C):

y²=x³+(Aⁿ+Bⁿ)x²+AⁿBⁿ

 

Questa riscrittura sembra molto diversa dall'originaria equazione di Fermat, ma non è altro che l'equazione xⁿ+yⁿ=zⁿ, manipolata con una serie di artifici matematici, nell'ipotesi che l'eretica terna (A, B, C) esista davvero.

 

Frey aveva solo cambiato l'aspetto di xⁿ+yⁿ=zⁿ, ma cambiandone l'aspetto aveva offerto una nuova visione delle cose: se esiste una soluzione (A, B, C) dell'equazione di Fermat, e quindi se l'Ultimo Teorema è falso, allora scrivere xⁿ+yⁿ=zⁿ equivale a scrivere y²=x³+(Aⁿ+Bⁿ)x²+AⁿBⁿ, e questa riscrittura dell'equazione di Fermat - guarda un po' - è un caso particolare di equazione ellittica.

 

Se la forma generale di un'equazione ellittica:

 

y²=x³+ax²+bx+c

 

la specializziamo con i valori:

 

a=(Aⁿ-Bⁿ)

 

b=0

 

c=AⁿBⁿ

 

ecco che ritroviamo esattamente la riscrittura di Frey dell'equazione di Fermat.

 

Frey osservò che la sua equazione era davvero insolita e contorta, e semmai avesse avuto cittadinanza nel mondo delle equazioni ellittiche, allora la congettura di Taniyama-Shimura sarebbe stata seriamente a rischio, nel senso che sarebbe suonato ben strano che un'equazione ellittica così brutta potesse associarsi a una qualche forma modulare di per sé bella. Successivamente Ken Ribet dimostrò che l'equazione ellittica di Frey era troppo brutta per potersi accoppiare con una forma modulare, e così blindò l'intuizione originaria.

 

Riepilogando: l'equazione ellittica di Frey è un'equazione fantasma, che può esistere solo se l'Ultimo Teorema di Fermat è falso; la sua parametrizzazione - i valori dei coefficienti a, b, c - è così stramba che si fatica ad associarvi una forma modulare; ma la congettura di Taniyama-Shimura afferma che ogni equazione ellittica corrisponde a una forma modulare, e quindi se l'equazione ellittica di Frey è vera, la congettura è falsa, e con essa anche l'Ultimo Teorema di Fermat.

Dimostrare l'Ultimo Teorema di Fermat equivaleva - in definitiva - a provare la verità della congettura di Taniyama-Shimura: per la prima volta, dopo secoli, il problema matematico più difficile al mondo sembrava vulnerabile.

 

Andrew Wiles, a 10 anni.

 

Nel 1963, un bambino americano di dieci anni tornava a casa da scuola, quando decise di fermarsi nella biblioteca di quartiere. Era piuttosto scarna, ma disponeva di una collana assai nutrita di libri di enigmi che spesso catturavano la sua attenzione. In tutti quei libri si trovavano giochi matematici di ogni tipo, e di ognuno veniva data la soluzione nelle pagine conclusive. Ma quella volta il bambino s'imbatté in un libro che conteneva un solo problema, senza soluzione: "The Last Problem", di Eric Temple Bell, dedicato alla storia dell'Ultimo Teorema di Fermat.

 

"Sembrava così semplice e però tutti i grandi matematici della storia non avevano saputo risolverlo" - racconterà Andrew Wiles da adulto, nel ricordare quel giorno della sua infanzia - "Era un problema che io, bambino di dieci anni, potevo capire e capii da quel momento che non l'avrei mai dimenticato. Dovevo risolverlo".

"A scuola mi piaceva fare i problemi. Li portavo a casa e me ne inventavo di nuovi per conto mio" - racconta ancora Wiles - ma dopo la scoperta dell'Ultimo Teorema di Fermat non doveva più inventare alcunché: c'era solo da mettersi a testa bassa a studiare le opere di Eulero, della Germain, di Cauchy, di Lamé, di Kummer, nella speranza di poter imparare dai loro errori. 

 

Quando Wiles s'iscrisse all'Università di Oxford si trovò però davanti a quel muro che ormai da tempo aveva bloccato l'interesse verso la questione. L'ambiente accademico sospettava - e non da ieri - che Ultimo Teorema di Fermat fosse impossibile da risolvere, che la dimostrazione non esistesse, e che se pure esisteva, non era comunque interessante scoprirla.

 

Wiles continuò comunque a cercarla, nonostante lo scetticismo da cui era circondato. Era consapevole che in passato si erano avuti casi di dimostrazioni scoperte solo dopo secoli di tentativi, e spesso l'intuizione che aveva risolto il problema non richiedeva sviluppi moderni, la si sarebbe potuta cioè trovare anche prima, con le tecniche disponibili già allora, purché usate in modo brillante e ingegnoso. Trovare la dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat iniziò a trasformarsi da una curiosità infantile a un'autentica ossessione.

 

Ma il pragmatismo s'impose, quando nel 1975 Wiles si iscrisse al dottorato dell'Università di Cambridge, per intraprendere la carriera accademica ed entrare nei ranghi dei matematici di professione. "Quando andai a Cambridge misi davvero da parte Fermat. Non già che me ne dimenticassi - mi era sempre ben presente -, ma mi resi conto che le sole tecniche in mio possesso per affrontarlo erano vecchie di centotrent’anni. Non pareva che queste tecniche andassero davvero alla radice del problema. Lavorare su Fermat significava che si potevano impiegare anni senza arrivare da nessuna parte". 

 

Il suo tutor - John Coates - doveva trovargli una nuova ossessione, per i tre anni successivi. "Penso che tutto ciò che un supervisore possa fare per uno studente durante il dottorato di ricerca sia di cercare di spingerlo nella direzione giusta. Ovviamente, è impossibile essere sicuri di quale sia la direzione giusta di una ricerca, ma forse una cosa che può fare un matematico più anziano è di usare il suo fiuto, la sua intuizione di quella che può essere una buona area di ricerca; spetta poi allo studente dimostrare quanto avanti può spingersi in quella direzione".

 

Coates indirizzò Wiles verso le curve ellittiche, e Wiles si costruì rapidamente una reputazione eccellente: raggiunse numerosi risultati originali, pubblicò articoli su articoli, sino al punto che nessun altro conosceva l'argomento meglio di lui. 

 

Quando Frey e Ribet associarono un rompicapo del XVII secolo - l'Ultimo Teorema di Fermat - a uno dei problemi più significativi del XX secolo - la congettura di Taniyama-Shimura - Wiles si ritrovò di colpo a disposizione tutto l'arsenale matematico indispensabile a realizzare il suo sogno di bambino. Dimostrare la congettura significava annunciare una nuova era nella risoluzione di enigmi ellittici sino ad allora impenetrabili, far compiere un balzo a tutta la matematica, ma dimostrare la congettura voleva pure dire - indirettamente, come corollario - dimostrare l'Ultimo Teorema di Fermat.

 

Certo, la congettura di Taniyama-Shimura era aperta da parecchio tempo, e nessuno aveva idea di come affrontarla, ma la rilevanza stava nell'aver trasferito il sogno di un bambino - la dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat - in un ambiente massimamente familiare, in un contesto che per lui era matematica corrente, e su cui era legittimato a lavorare.

 

"Potevo tentare di dimostrare alcuni risultati, che, anche se non avessero fornito la risposta completa, avrebbero avuto comunque un valore matematico. Non avevo la sensazione di sprecare il mio tempo. Così il romanzo di Fermat che mi aveva avvinto per tutta la vita adesso si combinava a un problema che era professionalmente accettabile".

 

Dal libro "L'Ultimo Teorema di Fermat", di Simon Singh.

Wiles prese una decisione irrituale, psicologicamente straniante, per un matematico della sua epoca: isolarsi, lavorare nella più assoluta segretezza. 

 

Andrew Wiles  - dirà poi Ken Ribert - "è l’unico caso che conosco di qualcuno che abbia lavorato così a lungo senza svelare ciò che stava facendo, senza parlare dei progressi che stava compiendo".

 

C'era sicuramente il desiderio di non dividere con altri la gloria della dimostrazione, ma anche la consapevolezza che tutto ciò che aveva a che fare con Fermat generava una curiosità morbosa, domande continue, intromissioni da ogni parte, che avrebbero impedito la necessaria concentrazione per venire a capo di un problema secolare. Solo la moglie Nada fu portata a conoscenza del segreto. "Glielo dissi in luna di miele, solo pochi giorni dopo che ci eravamo sposati".

 

L'Ultimo Teorema di Fermat era tornato al centro dei suoi pensieri e delle sue azioni. "Ce l'avevo in testa praticamente sempre. Mi svegliavo alla mattina con questo primo pensiero. Ci pensavo per tutto il giorno e quando andavo a dormire ci stavo ancora pensando, Senza distrazioni avevo sempre la stessa cosa che continuava a girarmi nella testa... Passavo la maggior parte del tempo seduto alla mia scrivania a scrivere, ma talvolta riuscivo a ridurre il problema a qualcosa di molto specifico: un filo conduttore, qualcosa che mi colpiva per la sua stranezza, qualcosa che stava giusto sotto il foglio, che non riuscivo a individuare con precisione. Se c'era una cosa che mi ronzava nella testa, non avevo alcun bisogno di uno strumento con cui scrivere o di una scrivania a cui lavorare; andavo invece a fare una passeggiata giù al lago. Avevo sempre con me una matita e un foglio a portata di mano, di modo che se avessi avuto un’idea avrei potuto sedermi su una panchina e mettermi a buttare giù qualche appunto".

 

La sfida rimaneva immane, per quanto ci si dedicasse con tutto sé stesso e se possibile anche oltre. "Entri nella prima stanza del palazzo ed è buia. Completamente buia. Avanzi a tentoni urtando nei mobili, ma a poco a poco riesci a individuare la posizione di ciascun mobile. Infine, dopo sei mesi o più, trovi l'interruttore della luce, lo giri, e di colpo è tutto illuminato. Puoi vedere esattamente dov'eri. Poi ti sposti nella stanza successiva e passi altri sei mesi nell'oscurità. Così ognuna di queste scoperte, seppure a volte giungano immediate e altre volte richiedano un periodo di un giorno o due, sono il culmine di, e non potrebbero esistere senza, molti mesi passati a vagare nell'oscurità che le precede".

 

Wiles passò sette anni in una volontaria reclusione a ragionare su Fermat, a leggere tutte le riviste specializzate, a esercitarsi di continuo con le più raffinate tecniche d'avanguardia, sino a tramutarle in una seconda natura. "Di solito salivo nel mio studio e mi mettevo a cercare di trovare dei modelli. Cercavo di fare calcoli che spiegassero un piccolo particolare matematico. Cercavo di armonizzarlo con una precedente interpretazione concettuale più ampia di una parte della matematica che avrebbe chiarito il problema particolare a cui stavo pensando. A volte questo richiedeva di andare a cercarlo in un libro per vedere com'era stato affrontato. A volte si trattava di modificare appena le cose, facendo qualche calcolo in più. E a volte mi accorgevo che quello che era già stato fatto non era di alcuna utilità. Allora non mi restava che trovare qualcosa di completamente nuovo; da dove ti giunga, è un mistero".

Per quanto strada riuscì a fare nella direzione corretta, c'era sempre il sospetto che fosse solo un tratto minimale dell'intero percorso. "Pensavo proprio di essere sulla pista giusta, ma questo non significava necessariamente che avrei raggiunto la mia meta. Poteva darsi che i metodi che occorrevano per risolvere questo particolare problema fossero semplicemente al di fuori della portata della matematica attuale. Forse i metodi di cui avevo bisogno per completare la dimostrazione non sarebbero stati inventati che fra cent'anni. Così, anche se ero sulla pista giusta, c'era la possibilità che vivessi nel secolo sbagliato".

C'era un pozzo di nuova matematica da imparare, e da mettere poi all'opera con una strumentazione sofisticata con cui Wiles non aveva la necessaria confidenza. Se voleva proseguire nel cammino, senza andare incontro al più iniquo degli azzardi, era obbligato a confrontarsi, a parlare con altri di ciò che stava facendo, a violare il segreto. "All'inizio del gennaio del 1993, decisi che avevo bisogno di confidarmi con qualcuno che fosse esperto del tipo di tecniche geometriche a cui facevo appello per la dimostrazione. Volevo scegliere con molta cura la persona con cui confidarmi, poiché avrebbe dovuto mantenere il riserbo. Scelsi di parlarne con Nick Katz".

 

Nick Katz era un professore dell'Università di Princeton, e conosceva Wiles da anni: non era semplicemente collega, era un vero amico.

 

"Un giorno Andrew venne da me all'ora del tè e mi chiese se potevo passare dal suo ufficio: c'era qualcosa di cui voleva parlarmi. Non avevo idea di cosa potesse essere. Andai da lui e dopo che fui entrato chiuse la porta. Mi disse che pensava di essere in grado di dimostrare la congettura di Taniyama-Shimura. Ero semplicemente attonito, sbalordito: era una cosa fantastica".

 

Katz si ritrovò davanti a montagne di calcoli spettacolari, creati con una varietà impressionante di tecniche matematiche, e per quanto li vagliasse con la più vigile attenzione, per quanto scrupolo mettesse nel riesaminare il lavoro di Wiles, non vi trovò nulla di sbagliato. La dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat poteva essere annunciata al mondo.

 

"Nel maggio 1993 ero convinto di avere nelle mani tutto l'Ultimo Teorema di Fermat. Volevo ancora controllare un altro po' la dimostrazione, ma c'era alle porte un convegno che si sarebbe tenuto alla fine di giugno a Cambridge, e pensavo che sarebbe stato un luogo stupendo per dare l'annuncio della dimostrazione: era la mia città natale, e lì avevo studiato dopo la laurea".

 

Wiles puntò alla drammatizzazione: non disse esplicitamente di avere la dimostrazione dell'Ultimo Teorema di Fermat, e si limitò ad annunciare un ciclo di conferenze dai titoli piuttosto standard, almeno per i matematici del settore. Non ci volle molto però a collegare i punti e a immaginare dove conducessero. Iniziarono a circolare voci sempre più insistenti sul reale contenuto delle conferenze di Wiles, che non trovavano né conferme né smentite.

 

"In vista delle mie conferenze la gente mi chiedeva che cosa avevo intenzione di dire esattamente. Cosi rispondevo: beh, venite alle mie conferenze e vedrete".

 

 Dal libro "L'Ultimo Teorema di Fermat", di Simon Singh.

 
Il mondo impazzì.

 

I giornali di tutti i paesi annoverarono Wiles tra i matematici più geniali della storia, e sul Newton Institute calarono troupe televisive e giornalisti scientifici, per chiedere interviste con il più grande matematico del secolo, con la buffa pretesa che spiegasse brevemente, in poche parole, la dimostrazione matematica più complicata di ogni tempo.

L'attrice Sharon Stone - una delle donne più intelligenti di Hollywod, notoriamente appassionata di matematica - trovò il modo di invitare a cena Wiles, affinché gli rivelasse - per quanto possibile - l'essenza della dimostrazione.

 

"E' scoccata l'ora per l'ultimo enigma della matematica", titolava il "Guardian".

 

"Le Théorèm de Fermat enfin résolu" si leggeva nella prima pagina di "Le Monde".

 

"Eureka! Finalmente svelato un secolare mistero matematico" strillò il "New York Times".

 

La pagina del "New Jork Times" del 24 giugno 1993,

dedicata alla dimostrazione di Wiles dell'Ultimo Teorema di Fermat.

 

Ma se per il circo dei mass-media si era scritta la parola "fine" a una sfida secolare, e se la comunità matematica viveva il suo quarto d'ora di notorietà trovandosi sotto la luce dei riflettori, per Andrew Wiles il tratto più delicato della storia iniziava proprio adesso, a dimostrazione conclusa.

  

Nelle sue conferenze Wiles avevano fornito uno schema dettagliato della linea dimostrativa, ma una conferenza non ha - non può avere - lo status di una verifica ufficiale. La dimostrazione era un'argomentazione gigantesca, costruita su centinaia di calcoli matematici, con tecniche sia antiche che moderne, tenute insieme da migliaia di nessi logici. Se un solo passaggio fosse stato errato, o uno dei nessi fosse saltato, l'intera dimostrazione sarebbe stata priva di valore. C'era un prezzo che ora Wiles doveva pagare, per la segretezza con cui aveva condotto il suo lavoro: non aver discusso o verificato alcuna idea con la comunità matematica rendeva possibile la presenza di un errore fatale.

 

Il protocollo accademico impone di sottoporre ogni lavoro a una rivista autorevole, che lo invia quindi a un'equipe di giudici, il cui compito è esaminarlo riga per riga, e solo quando il lavoro supera il vaglio dei giudici può essere accettato come definitivo e corretto.

 

Wiles presentò il suo manoscritto alla rivista "Inventiones Mathematicae"; il direttore nominò eccezionalmente ben sei giudici, anziché i soliti due o tre; a Nick Katz - l'unico che aveva avuto la possibilità di una verifica in anteprima - fu assegnata la verifica del terzo capitolo.

 

Quasi ogni giorno Wiles riceveva e-mail che gli segnalavano piccoli o grandi problemi da sistemare, punti da chiarire o da correggere, e lui rispondeva colpo su colpo.

 

"Ogni giorno" - racconta Katz - "spedivo una domanda ad Andrew per posta elettronica: non capisco cosa affermi in questa pagina o mi sembra che ci sia un errore in questa riga. Di solito quello stesso giorno o il successivo ricevevo una risposta che chiariva la questione e quindi passavo al problema successivo".

Wiles aveva già controllato e ricontrollato la dimostrazione, prima di consegnarla ai giudici, dunque si sentiva tranquillo. Se la sua opera fosse stata un romanzo, anziché una dimostrazione matematica, si aspettava di ricevere solo osservazioni su refusi, sviste grammaticali, virgole fuori posto e altre cose del genere: errori banali che avrebbe potuto correggere immediatamente.

Le richieste di spiegazioni arrivarono in modo piuttosto tranquillo sino al 23 agosto, quando proprio Katz sollevò un punto che aveva le apparenze di un altro piccolo problema. Wiles replicò anche stavolta, ma la sua argomentazione non persuase Katz, che lo incalzò nuovamente e lo costrinse a riesaminare a fondo la questione.

 

"Non riuscii a risolvere subito questa questione in apparenza molto innocente" - racconta Wiles - "Per un po' mi sembrò che il problema fosse dello stesso ordine degli altri, ma poi a settembre cominciai a capire che non si trattava solo di una difficoltà di poco conto bensì di un vizio fondamentale".

L'errore era così sottile che sino a quel momento era sfuggito a tutti - "perfino per spiegarlo a un matematico sarebbe stato necessario che egli passasse due o tre mesi a studiare quella parte del manoscritto nei minimi dettagli" - ma, insomma, per dirlo alla buona, una tecnica matematica cruciale per la dimostrazione non funzionava così bene come Wiles aveva ipotizzato.

 

Katz fu il primo a voler capire i motivi della sua stessa svista, quando aveva avuto il privilegio di esaminare il lavoro di Wiles in anteprima.

 

"Penso che la risposta sia che quando ascolti una lezione c'è una tensione reale fra comprendere tutto e permettere all'insegnante di procedere. Se interrompi a ogni secondo - non capisco questo o non capisco quello - allora il poveretto non riesce mai a spiegare nulla e tu non fai alcun progresso. D'altra parte, se non lo interrompi mai, perdi in qualche modo il filo e continui a far gentilmente sì con la testa, ma in realtà non verifichi un bel niente. C'è questa tensione reale tra il porre troppe domande e il porne troppo poche, e ovviamente verso la fine di quelle lezioni, che è il momento in cui mi sfuggì il problema, avevo la tendenza a porre troppo poche domande".

 

Wiles fronteggiava l'umiliazione di dover ammettere l'errore. Prima di ufficializzarlo, però, volle compiere ancora uno sforzo, per vedere se fosse possibile porvi rimedio. "Non potevo rinunciare. Ero ossessionato da questo problema". 

 

Ritornò alle vecchie abitudini, e si isolò ancora una volta dal mondo per ritrovare la concentrazione necessaria, ma stavolta in circostanze ben più difficili: doveva rimediare all'errore prima che la comunità matematica si rendesse conto che qualcosa era andata storta.

 

Forse la soluzione era dietro l'angolo, forse gli era solo sfuggito un semplice passaggio, e tutto sarebbe andato a posto pur di analizzare le cose con la necessaria lucidità.

 

E invece no: più ragionava sul problema, più il problema diventava intrattabile, e ogni volta che sistemava qualcosa c'era qualcos'altro che non girava più come avrebbe dovuto. Era come se stesse cercando di adattare un tappeto a una stanza, ora troppo piccola ora troppo grande: copriva una zona per poi scoprire di averne lasciato scoperto un altra, o per vedere che il tappeto adattato a un angolo si sollevava sulla parete in un altro angolo: se fosse o no possibile adattare il tappeto alla stanza, era qualcosa che Wiles non era più in grado di stabilire.

 

I giudici del suo lavoro erano gli unici a conoscenza dell'errore, ma intorno a ottobre la comunità matematica iniziò a borbottare: il teorema era stato annunciato, d'accordo, ma perché non lo si vedeva ancora pubblicato? cosa stava facendo Wiles? perché non si avevano più notizie?

 

In assenza di informazioni ufficiali - i giudici non rilasciavano dichiarazioni e, se parlavano, negavano l'esistenza di un problema - le voci si diffusero senza controllo: si disse che nella dimostrazione di Wiles c'era sicuramente una lacuna, e lacuna - nel passaparola - volle dire prima crepa, poi fenditura, quindi crepaccio, e infine burrone e abisso.

Wiles capì che non poteva più restare in silenzio: la soluzione dell'errore non era dietro l’angolo, e serviva mettere fine alle dicerie.

Diffuse una comunicazione dal tono tranquillizzante il 4 dicembre 1993. "Il fatto che sul manoscritto rimanga molto lavoro da fare ne rende ancora inopportuna la distribuzione prima che vada in stampa. Durante il corso che terrò a Princeton a partire da febbraio fornirò un resoconto completo del mio lavoro".

Nessuno si lasciò però convincere, e l'ottimismo di Wiles fu anzi interpretato al contrario, come un tentativo disperato di guadagnare altro tempo.

Il sogno di quel bambino di dieci anni era a brandelli. "Per i primi sette anni in cui lavorai al problema mi piaceva la battaglia personale. Non importava quanto fosse dura, non importava quanto gli ostacoli sembrassero insormontabili, ero impegnato nel mio problema preferito. Era la passione della mia infanzia, non potevo proprio soffocarla, non volevo abbandonarla nemmeno per un momento. Poi ne parlai in pubblico, e parlandone ci fu effettivamente un certo senso di perdita. Fu una sensazione molto confusa. Era bellissimo vedere altre persone che reagivano alla dimostrazione, vedere come le mie argomentazioni potevano cambiare completamente l'intero orientamento della matematica, ma allo stesso tempo era venuta meno quell’avventura di ricerca individuale. Ora il mio lavoro era accessibile a tutti e io non avevo più questo sogno personale da esaudire. E poi, quando sorse un problema, ci furono decine, centinaia, migliaia di persone che volevano distrarmi. Questo modo molto pubblico di fare matematica, questa sovraesposizione, non è certamente nel mio stile e non mi divertiva affatto".

Passarono altri sei mesi, e Wiles e i giudici erano ancora i soli ad avere accesso al manoscritto. Crescevano le richieste di una minor riservatezza, affinché tutti potessero vedere per conto proprio la dimostrazione e analizzare i dettagli dell'errore che conteneva. Se Wiles non era in grado di risolverlo - si disse - forse qualche altro matematico ne sarebbe stato capace. La dimostrazione - d'altra parte - era troppo preziosa per lasciarla nelle mani di un solo uomo. Se da un lato vi era la frustrazione per l'ennesimo insuccesso, dall'altro vi era la consapevolezza di una soluzione ormai in arrivo, se solo Wiles avesse reso pubblici i suoi risultati per permettere anche ad altri di lavorarci sopra.

Con gli occhi del mondo puntati addosso, e sotto la pressione dei colleghi per rendere nota la dimostrazione, Wiles - lui solo sa come - tenne il punto: il matematico che dimostra l'Ultimo Teorema di Fermat è chi presenta per primo la dimostrazione corretta - come già sapevano Lamè e Cauchy - e non chi vi ha dedicato la maggior parte del suo tempo e del suo lavoro; e Wiles non era pronto ad accomodarsi da una parte, per applaudire qualcun altro che aveva dimostrato il "suo" teorema.

Riprese l'abitudine di studiare in soffitta e ogni tanto andava a passeggiare al lago Princeton, come aveva fatto in passato; ma persino i joggers, i ciclisti e i canottieri, che una volta gli passavano accanto con un breve cenno di saluto, adesso lo fermavano per chiedergli se avesse compiuto dei passi in avanti.

L'inverno avanzava e le speranze di progredire gelavano. Wiles confessò a un amico - il matematico Peter Sarnak - che la situazione era disperata, ed era ormai sul punto di accettare la sconfitta. Sarnak gli suggerì l'ovvio: gran parte delle difficoltà nascevano dal non avere un confidente, una figura su cui poter contare ogni giorno, su cui riversare le proprie idee, e che magari lo incoraggiasse a seguire approcci alternativi, se del caso meno ortodossi. Lo invitò a concedere la sua fiducia a qualcuno. Wiles rimuginò sulla questione e alla fine si rivolse a Richard Taylor, assistente dell'Università di Cambridge, uno dei giudici responsabili della verifica della dimostrazione e suo ex studente, quindi persona doppiamente fidata.

Mettiamo per un attimo in pausa Wiles, Fermat e il malefico teorema,

e torniamo indietro di qualche migliaio di anni, all'epoca di Talete di Mileto

 - riconosciuto come il primo matematico della storia (e primo filosofo occidentale) - 

e alla sua ignegnosa soluzione per misurare l'altezza della piramide di Cheope,

brillantemente illustrata da Denis Guedj nel romanzo "Il teorema del pappagallo".

In poche ed essenziali parole:

l'altezza della piramide starà alla lunghezza della sua ombra,

come la mia altezza sta alla lunghezza della mia ombra.

Semplice, geniale e risolutivo.

Ma a Talete serviva un fellah per attuare l'idea, per metterla in pratica, per realizzarla.

Perché c'è sempre bisogno di un fellah per arrivare a dama, in matematica e non solo.

E Richard Taylor era proprio il fellah che serviva ad Andrew Wiles per domare Fermat...

Nel gennaio del 1994 Wiles era tornato ad aggredire Fermat, con l'aiuto di Taylor. Di tanto in tanto i due entravano in un nuovo territorio, ma finivano invariabilmente per ritrovarsi al punto di partenza. A ogni giro si avventuravano più lontano di quanto avessero mai fatto, e i ripetuti fallimenti gli diedero la sensazione di trovarsi in un labirinto d'inconcepibile vastità e forse privo di uscite, in cui si poteva vagare senza meta, in eterno.

Dopo anni di sforzi ininterrotti, e un'ossessione che durava da una vita, Wiles non vedeva più alcuno scopo nei tentativi di correggere la dimostrazione: doveva solo accettare il fallimento.

Tornò con la mente agli ultimi otto anni e si sentì rassicurato dal fatto che la gran parte del suo lavoro rimaneva valida. Solo il passaggio finale sfarfallava. Forse non sarebbe stato possibile dimostrare la congettura di Taniyama-Shimura, e quindi l'Ultimo Teorema di Fermat, ma la sua opera aveva fornito ai matematici un'impressionante serie di tecniche innovative, che si potevano sfruttare per dimostrare tanti altri teoremi molto più interessanti. E non è forse questo il vero obiettivo di ogni ricerca? Creare una nuova matematica, anche se il problema che ne ha offerto lo spunto rimane insoluto. L'insuccesso non era affatto un disonore, e la prospettiva della sconfitta gli apparve meno traumatica, più sopportabile.

Come consolazione Wiles volle almeno capire perché aveva fallito. Dedicò il mese di settembre ad analizzare un'ultima volta il tecnicismo finale della dimostrazione, per individuare il punto esatto in cui cedeva.

E all'improvviso ebbe una rivelazione: i pezzi da mettere assieme per far funzionare la dimostrazione erano tutti lì, sotto i suoi occhi, come lo erano stati sin dal primo giorno, dal ciclo di conferenze in cui l'aveva annunciata, e bisognava solo incastrarli con un po' di ingegnosità, per mettere un punto definitivo a una storia di isolamento, di sforzi, di genialità, di competizione, di successo, di tragedie, di gelosia, di trionfo.

 

Wiles sperimentò quella sensazione riservata solo ai grandi matematici, che già Gauss aveva inchiodato con parole magistrali. "Come un lampo improvviso, l'indovinello è stato risolto. Non sono in grado di spiegare qual è stato il filo conduttore che ha connesso quello che già conoscevo con ciò che ha reso possibile il mio successo".

 

Dal libro "L'Ultimo Teorema di Fermat", di Simon Singh.

 

Lo storico volume degli "Annals of Mathematics" accolse la dimostrazione nel numero di maggio del 1995: due articoli, uno di oltre cento pagine, a firma Andrew Wiles, e un altro di una ventina di pagine, a firma congiunta Andrew Wiles e Richard Taylor, con la dimostrazione di un teorema "di supporto" senza il quale i sette anni di lavoro di Wiles sarebbero andati perduti.

 

Furono i manoscritti più scrutinati della storia, ma questa volta non c'erano dubbi: la congettura di Taniyama-Shimura non era più una congettura ma un teorema, e l'Ultimo Teorema di Fermat era finalmente crollato.

 

Il frontespizio dello scritto di Andrew Wiles, con la dimostrazione del teorema di Fermat.

 

 

 

La storia dell'Ultimo Teorema di Fermat,

in un francobollo della Repubblica Ceca:

nel 1670 Pierre de Fermat afferma che l'equazione xⁿ+yⁿ=zⁿ

non ammette soluzioni (x, y, z) intere, per n>2;

nel 1995 Andrew Wiles lo dimostra.

Non esiste - né in matematica né altrove - 

un problema che possa essere formulato in modo così semplice

e che sia rimasto irrisolto per così tanto tempo. 

 

Metà della difficoltà di un problema matematico - di regola - consiste nel capire la questione, l'altra metà nel venirne a capo.

 

Con Fermat, invece, la difficoltà era tutta e solo nel risolvere il problema: l'enunciato  del suo Ultimo Teorema è così docile e innocuo che qualsiasi studente di scuola media può capirlo, ma la sua dimostrazione coinvolge metodologie e tecniche tra le più complesse al mondo, collega i più disparati settori matematici, dà solidità a risultati fino ad allora fondati su congetture, e in definitiva dilata i confini stessi della disciplina.

 

Questa sproporzione tra la semplicità enunciativa da un lato, e la difficoltà dimostrativa e la ricchezza di conseguenze dall'altro, è ciò che i matematici chiamano la bellezza di un teorema: l'Ultimo Teorema di Fermat è indubbiamente il più bel teorema di tutta la matematica, e beato chi ha tutta la conoscenza necessaria per sentire "la sensazione incredibile di quanto sia bella la soluzione, di come tutti gli aspetti si armonizzino così elegantemente".

 

Dal libro "L'Ultimo Teorema di Fermat", di Simon Singh.