BELLEZZA E CONOSCENZA - Appendice quantistica: omaggio a Paul Dirac

 "... nelle sue mani la meccanica quantistica, da accozzaglia snaturata di intuizioni,

mezzi calcoli, fumose discussioni metafisiche ed equazioni che funzionano bene e non si sa perché,

si trasforma in un'architettura perfetta: aerea, semplice e bellissima"

(Carlo Rovelli su Paul Dirac)

"C'è stato un momento in cui la grammatica del mondo sembrava chiarita" - scrive Carlo Rovelli - "Alla radice di tutte le variegate forme della realtà sembravano esserci solo particelle di materia guidate da poche forze. L'umanità poteva pensare di aver sollevato il velo di Maya: aver visto il fondo della realtà. Ma non è durato a lungo: molti fatti non tornavano".

 

Sì, molti fatti non tornavano, e quanto il fondo del reale fosse più giù d'ogni immaginazione lo testimonia un campionario di citazioni del tempo, quando l'atomo smise d'essere una speculazione filosofica o una finzione del pensiero, per divenire un dato sperimentale con cui scendere a patti.

"Se questa è la via per raggiungere la meta devo rinunciare a fare fisica" (Paul Ehrenfest).

"Alla luce di questi fatti ci si potrebbe domandare se la fisica sia ancora la più solida tra le scienze naturali" (Max Planck).

"L'idea che un elettrone esposto a radiazione possa scegliere liberamente l'istante e la direzione in cui spiccare il salto è per me intollerabile. Se così fosse, preferirei fare il ciabattino, o magari il biscazziere, anziché il fisico" (Albert Einstein). 

"Se questi dannati salti quantici dovessero esistere, rimpiangerò di essermi occupato di meccanica quantistica" (Erwin Schrödinger).

Sono esternazioni ai limiti dello sfogo - e talvolta oltre - che restituiscono lo sconcerto generale davanti al formarsi di un pensiero esoterico sorretto da un calcolo di stregoneria: la Fisica dell'infinitamente piccolo, la Meccanica Quantistica, "una Teologia Negativa", "un'esperienza psichedelica", con le definizioni fulminanti di Carlo Rovelli.

 

Com'e fatto un atomo? Come funziona? Come si muovono gli elettroni al suo interno?

 

La struttura planetaria dell'atomo ipotizzata di Niels Bohr:

intorno al nucleo - fatto di protoni (di carica positiva) e neutroni (privi di carica) -

ruotano gli elettroni (di carica negativa e molto più piccoli rispetto a protoni e neutroni),

similmente ai pianeti che girano intorno al Sole, in una sorta di cosmo in miniatura.

 

La rappresentazione di Bohr rendeva conto di alcuni risultati sperimentali, ma falliva su altri - prevedeva la frequenza della luce emessa dagli elementi scaldati e anche il colore, ma non l'intensità - e doveva comunque ricorrere a ipotesi piuttosto strambe, assumere ad esempio - senza motivo, solo per convenienza - che gli elettroni girassero intorno al nucleo su orbite fissate, e solo su quelle, a precise distanze e con certe energie, e che poi - magicamente - saltassero da un'orbita all'altra.

Il modello - in definitiva - non era sostenuto da una teoria autosufficiente, perché tutta una serie di parametri si dovevano inserire "manualmente", in base ai risultati degli esperimenti: perché proprio quelle orbite e solo quelle? e cosa erano quegli strani salti da un'orbita all'altra? quali forze sconosciute indirizzavano un elettrone verso un comportamento così bizzarro?

 

La ricerca di risposte scrive una storia fatta di un paziente lavoro sul campo - teorico e sperimentale - ma impregnata anche di antipatie e antagonismi, di passioni e colpi di genio, che hanno dato vita a "uno dei dibattiti più elevati e profondi nella storia della cultura umana", nel giudizio del giornalista scientifico Pietro Greco.

 

La Meccanica Quantistica non è quindi l'acuto di un solista, ma un coro a più voci, dove però le melodie non sono armoniche, ma creano contrasti e attriti, con ripercussioni sul modo di intendere la disciplina, di interpretarne i significati più genuini.

 
"Unlike Newton's mechanics, or Maxwell's electrodynamics, or Einstein's relativity, quantum theory was not created - or even definitively packaged - by one individual, and it retains to this day some of the scars of its exhilarating but traumatic youth" - registrano David Griffiths e Darrell Schroeter - "There is no general consensus as to what its fundamental principles are, how it should be taught, or what it really 'means'. Every competent physicist can 'do' quantum mechanics, but the stories we tell ourselves about what we are doing are as various as the tales of Scheherazade, and almost as implausible".

 

A voler restituire il senso del dibattito si possono prospettare le due principali formulazioni tecniche: la meccanica matriciale di Heisenberg (poi raffinata da Born e Jordan) e la meccanica ondulatoria di Schrödinger. 

 

             

La matrice di Heisenberg per il comportamento dell'elettrone.

 

All'inizio di giugno del 1925 il neo-laureato Werner Heisenberg - assistente del monumentale Max Born, all'Università di Göttingen - è colto da un attacco di febbre da fieno, che lo costringe a spostarsi nel Mare del Nord, sull'isola di Helgoland - "Isola sacra", letteralmente - un agglomerato di rocce senza vegetazione ("Helgoland con il suo solo albero" - scriveva Joyce nel suo "Ulisse").

 

Dorme poco o nulla, e trascorre il tempo in solitudine, con in testa un pensiero fisso: venire a capo dei bizzarri comportamenti dell'elettrone all'interno della rappresentazione di Bohr.

 

E il 7 giugno finalmente i calcoli cominciano a tornare: "Erano più o meno le tre del mattino quando il risultato finale dei miei conti fu davanti a me. Era giusto a tutti i termini. D'un tratto non ho più avuto dubbi sulla coerenza della nuova meccanica 'quantistica' che il mio calcolo indicava. Ero profondamente allarmato. Avevo la sensazione che attraverso la superficie dei fenomeni stavo guardando verso un interno di strana bellezza".

Parole da brividi: guardando "attraverso la superficie dei fenomeni", Heisenberg scorge "un interno di strana bellezza", ed è sul serio una bellezza ben strana, se si appunta l'attenzione sul formalismo e il linguaggio che la descrivono, che rompono i canoni della meccanica classica.

La teoria di Heisenberg si basava su una struttura matematica astratta, senza appigli alla visualizzazione dei fenomeni atomici, e più in generale priva di ogni riferimento intuitivo.

Le classiche variabili fisiche (posizione, velocità, energia, ...) erano rimpiazzate da tabelle di numeri (matrici di dimensione infinita) con le righe intestate alle orbite di partenza dell'elettrone e le colonne alle orbite di arrivo, per mapparne le tappe percorse: si poteva sapere che data una certa energia si sarebbe trovato in una certa posizione, ma non si poteva disegnare il sentiero seguito tra una tappa e l'altra.

Dov'è l'elettrone, quando non lo si trova su una delle tappe previste dalle matrici? Dov'è, quando non lo osserviamo?

 

La teoria restava silente. Non diceva nulla su "come le cose sono", ma descriveva "come le cose accadono" e "come influiscono l'una sull'altra". Non diceva "dov'è" una particella, ma dove la particella "si fa vedere dalle altre". Il mondo delle cose diventava il mondo delle interazioni possibili, la realtà veniva ridotta a un sistema di relazioni.

 

Suonava tutto bizzarro, anomalo, ai fisici della prima metà del XX secolo, sia sul piano concettuale (per l'impossibilità di visualizzare, in una disciplina in cui l'osservazione era tutto) che del puro tecnicismo (per l'uso di un'algebra all'epoca poco diffusa).

Ma a Niels Bohr stava bene così: i sistemi atomici non si possono descrivere in termini classici e la Meccanica Quantistica è semplicemente la miglior descrizione della realtà effettivamente accessibile, un'applicazione della conclusione del "Trattato logico-filosofico", del 1921, di Ludwig Wittgenstein: "su ciò di cui non si è in grado di parlare, si deve tacere".

             

L'onda di Schrödinger per il comportamento dell'elettrone.

Erwin Schrödinger è una figura alquanto pittoresca: figlio unico, in una delle ultime famiglie nobili dell'Impero austro-ungarico, cresce nell'atmosfera libera e permissiva della Vienna di inizio secolo, e sviluppa una personalità brillante e un'intelligenza acuta e raffinata, che dedicherà tanto alla Fisica quanto alle donne, senza far mistero della sua fascinazione per le adolescenti (con ripercussioni continue sul percorso accademico).

 

A Oxford lo mettono alla porta per uno stile di vita sin troppo eterodosso, persino per il preteso anticonformismo inglese (vive con la moglie Anny e l'amante Hilde, che aspetta un figlio da lui ed è moglie del suo assistente); negli Stati Uniti è la stessa musica (Erwin, Anny e Hilde convivono prendendosi cura insieme della piccola Ruth, nata nel frattempo, ma Princeton non digerisce) e a poco serve il trasferimento nella più liberale Dublino (dove darà ancora da parlare per le sue relazioni con diverse studentesse, da cui nasceranno due figli); solo a Graz, in Austria, troverà un po' di pace (ma soltanto perché decise di ignorare i commenti dei benpensanti).

"Durante l'amplesso vengono le illuminazioni" - così diceva - e non meraviglia, allora, se l'equazione cardine dell'infinitamente piccolo la concepisce durante una fuga con un'amante segreta in uno chalet nelle Alpi svizzere, nei primi giorni del 1926.

 

Si era portato dietro due perle da infilare nelle orecchie (per isolarsi quando desiderava pensare alla Fisica) e la tesi di dottorato di Louis de Broglie (un giovane scienziato francese, che aveva acutamente speculato sulla possibile natura ondulatoria della materia).

 

Nelle pause fra i dolci momenti con l'amica viennese, e con le perle nelle orecchie, Schrödinger compie a ritroso il percorso che porta dall'equazione di un'onda alla traiettoria di un raggio di luce, e con stile acrobatico scova l'equazione che l'onda-elettrone deve soddisfare quando è in un atomo. Ne studia le soluzioni e tira fuori esattamente gli stessi risultati di Bohr. 

 

La sua meccanica ondulatoria arriva come un sollievo, una liberazione, e appare all'istante più convincente della meccanica matriciale, vuoi perché basata sulle più familiari onde fisiche (codificate col tradizionale calcolo infinitesimale) vuoi perché il formalismo permette di recuperare la visualizzazione della traiettoria dell'elettrone (che Heisenberg aveva fatto sparire): intorno al nucleo dell'atomo non orbitano puntini di materia, ma vi sono continue oscillazioni, come le onde che scuotono un piccolo lago sempre agitato dal vento, cosicché i fatti subatomici sembrano ricondursi alle stesse intuizioni dell'esperienza macroscopica.

 

 

 

Meccanica matriciale e ondulatoria predicono entrambe correttamente il comportamento dell'elettrone, perché rappresentano due teorie formalmente diverse, ma sostanzialmente equivalenti: sono due modi diversi di dire la stessa cosa.

 

Dentro i formalismi matematici, tuttavia, ci sono anche le passioni degli uomini che li hanno creati, e l'anche non è un inciso secondario: Heisenberg rigettava la teoria di Schrödinger proprio perché forzava l'intuizione (e la visualizzazione) in fenomeni che non l'ammettevano, e definiva le sue idee delle "cretinate repellenti"; e Schrödinger - per parte sua - giudicava la teoria di Heisenberg letteralmente brutta, un'offesa al senso estetico, e se ne sentiva "scoraggiato, per non dire respinto".

 

A un'analisi spassionata, peraltro, le onde di Schrödinger non erano meno oscure delle matrici di Heisenberg: se l'elettrone lo intercettiamo ogni volta in un punto preciso, come fa a essere un'onda diffusa nello spazio?

 

Max Born sembrò avere la chiave di raccordo tra le due impostazioni: le onde non dovevano intendersi alla stregua di grandezze fisiche - come la distribuzione di una carica elettrica intorno al nucleo - bensì come un espediente formale per valutare la probabilità di trovare l'elettrone in un'assegnata regione dello spazio (e così anche l'equazione di Schrödinger perdeva la sua natura intuitiva, per trasformarsi un mero strumento di calcolo).

Alla fine - per un verso o per l'altro - gli aspetti formali prevalgono, prendono il sopravvento e monopolizzano la discussione, e la disponibilità di un formalismo nitido, compatto e versatile si rivela decisivo per manipolare in sicurezza una serie di concetti progressivamente più complessi e variamente articolati, per comprenderli nel profondo.

 

Nel 1928 John von Neumann analizza le varie versioni della Meccanica Quantistica - ondulatoria e matriciale, insieme alla teoria delle trasformazioni che ambiva a unificarle - ne isola le proprietà comuni e offre la prima definizione rigorosa della struttura formale con cui codificarle. In breve: getta le basi matematiche della Meccanica Quantistica. 

L'ambiente di riferimento è il cosiddetto "spazio di Hilbert", un insieme in cui non ci si preoccupa più di tanto della precisa natura dei suoi elementi - che possono essere numeri, vettori, matrici, funzioni, e così via - quanto delle relazioni che li legano: in uno spazio di Hilbert si possono combinare tra loro i vari oggetti avendo la sicurezza di trovare ancora un elemento dello spazio come un risultato delle proprie manipolazioni; si può quantificare la grandezza di ogni oggetto; si possono definire misure di distanza e similarità tra gli oggetti; e all'occorrenza si può ipotizzare che tutto ciò continui a funzionare anche avendo a che fare con infiniti oggetti.

 

Quanto più la Meccanica Quantistica prendeva una connotazione astratta, tanto più per capirla e lavorarci serviva destreggiarsi tra i suoi formalismi con sempre maggior scioltezza.

   

 

"Nelle teorie matematiche la questione della notazione, pur non essendo di primaria importanza, è comunque degna di attenta considerazione, poiché una buona notazione può essere di grande valore nell'aiutare lo sviluppo di una teoria, rendendo facile scrivere quelle quantità o combinazioni di quantità che sono importanti, e difficile o impossibile scrivere quelle che non sono importanti. 

La notazione attualmente in uso nella meccanica quantistica è abbastanza adatta ai suoi scopi, ma presenta alcuni inconvenienti.

Si ha a che fare con vettori nello spazio di Hilbert, che rappresentano gli stati di un sistema dinamico, e con operatori lineari, che rappresentano variabili dinamiche, e a volte si eseguono calcoli utilizzando direttamente i vettori e gli operatori lineari, trattandoli come quantità astratte, che possono essere combinate algebricamente secondo determinate regole, mentre in altri casi si lavora con coordinate di queste quantità.

Per i due stili di calcolo vengono utilizzate due notazioni distinte, che non si adattano in modo molto naturale e che danno origine a un goffo salto nel flusso dei pensieri quando si passa dall'una all'altra".

A parlare è Paul Dirac, una figura in "equilibrio sul vertiginoso percorso tra il genio e la pazzia" - nell'apprezzamento di Einstein - un animo rasente all'autismo, e che forse vi sconfinava: silenzioso e oltremodo riservato - i colleghi coniarono il "dirac" come unità di misura della loquacità: 1 parola l'ora - tanto brillante nelle visioni teoriche, quanto imbarazzante nelle prove sperimentali - e anche qui i colleghi coniarono "l'effetto Dirac", per descrivere gli sfracelli che si verificavano ogni volta che metteva piede in un laboratorio - disinteressato alle donne e senza amici, incapace di esprimere emozioni e sentimenti, spesso addirittura di riconoscere i volti di persone ben note, di tenere una conversazione normale o di comprendere semplici domande.

Un collega lo interruppe, durante una conferenza. "Non ho capito quella formula".

Dirac lo guardò perplesso, rimase in silenzio qualche secondo, per poi riprendere la sua esposizione.

Il moderatore lo interruppe nuovamente e lo invitò a rispondere alla domanda del collega.

Dirac sgranò gli occhi, sinceramente stupito. "Domanda? Quale domanda? Il collega ha fatto un'affermazione, non una domanda" (ché in effetti, testualmente, "non ho capito quella formula" è una frase affermativa, non interrogativa).

Ma è proprio nelle mani di questo singolare personaggio - ricorda Rovelli - che la Meccanica Quantistica "si trasforma in un'architettura perfetta: aerea, semplice e bellissima", oggi di "riferimento [per] qualunque ingegnere, chimico o biologo molecolare", come lo stesso Dirac aveva previsto al momento di definire il suo approccio: "sarà probabilmente sempre più utilizzato in futuro, man mano che verrà meglio compreso e la sua matematica specifica verrà sviluppata".

E la potenza dell'impostazione di Dirac passa anche - con le sue stesse parole - per "una nuova notazione", per "un modo pulito e conciso di scrivere, in un unico schema, sia le quantità astratte stesse che le loro coordinate", con cui si arriva "a un'unificazione delle idee", a "penetrare più a fondo nella natura delle cose".

 

Immaginiamo di poter lanciare uno sguardo d'assieme su tutti i possibili stati emotivi in cui può trovarsi un essere umano: felice, gioioso, rilassato, triste, arrabbiato, vendicativo, timoroso, speranzoso, depresso, esaltato, e via così, con una lista potenzialmente infinita (con stati che si potranno assomigliare tra loro e altri che saranno invece ortogonali) che chiameremo "spazio dei ket". 

Conveniamo di racchiudere ogni stato in un simbolo che a sinistra ha una barra verticale e a destra una parentesi angolare. Quindi, ad esempio, gli stati "felice" e "triste" li scriveremo così.

 

 

I nostri stati d'animo non sono immutabili, fissati una volta per tutte: è in nostro potere modificarli, alterarli, direzionarli laddove desideriamo.

Un individuo può ad esempio essere "triste", ma andare in vacanza al mare è una possibile azione (un'operazione compiuta sullo stato corrente) suscettibile di cambiare la situazione.

 

  

 

Abbiamo quindi un mondo degli stati, con ogni stato x rappresentato nella forma |x>, e un insieme di operatori, i cui elementi agiscono su |x> per modificarlo (eventualmente anche solo nella sua intensità, e non nella natura). 

 

Dobbiamo peraltro ammettere che raramente un individuo si trova in uno stato "puro". Di regola nel suo animo si agitano varie emozioni, anche di segno opposto: si può essere "felici" per alcune cose (si è superato un esame all'università, oppure si è avuta una promozione sul lavoro, o ancora si è diventati papà o mamma) e "tristi" per altre (ad esempio un lutto o anche solo per una sconfitta della propria squadra del cuore).

Le nostre emozioni - in generale - sono in una "sovrapposizione di stati", per cui le possiamo rappresentare come miscele di stati "puri", ad esempio nella forma:  

 

in cui i coefficienti c₁ e c₂ forniscono l'intensità dei rispettivi stati d'animo (le proporzioni con cui concorrono a formare l'emozione finale, che nell'esempio si immaginano paritarie: 50% e 50%, avendo alternato i due colori nella sua scrittura).

 

Per altro verso, anche se di regola le emozioni effettive sono in uno stato sovrapposto, se ne potrà di fatto osservare solo una alla volta.

 

Se incontriamo un individuo in uno stato misto "felice-triste", con pesi  c₁ e c₂, ci potrà capitare - ad esempio - di vederlo sorridente: forse perché noi stessi risvegliamo in lui una sensazione di felicità, o forse perché è lui a voler mantenere un contegno davanti a noi, o forse perché in modo indiretto gli richiamiamo i motivi per essere felice (pur essendo al tempo stesso anche "triste", anche se non lo vediamo). Specularmente ci potrà capitare di vederlo "triste" (per ragioni che ognuno può ipotizzare da sé) perché, appunto, gli stati si manifestano uno alla volta, anche quando coesistono.

  

E ora fermiamoci a riflettere: "felicità" e "tristezza", come tutti gli altri stati immaginabili, sono reali, effettivi, concretamente avvertiti - nella loro purezza e nelle miscele - ma non sono direttamente osservabili.

Le persone non vanno in giro con addosso dei cartellini che ne palesano lo stato d'animo. Se camminiamo per strada non vediamo persone con un post-it sulla fronte con su scritto "felice", "triste", "annoiato", "arrabbiato", "sereno". Vediamo piuttosto persone che sorridono e altre che sbuffano, ne vediamo di imbronciate e di chiacchierone, sentiamo persone che parlano con voce squillante e altre che mugugnano. Gli stati d'animo - in definitiva - si palesano sempre in azioni, percezioni, dialoghi e pensieri, che sono dettati da esperienze vissute.

 

Allo "spazio dei ket" si può quindi associare un "spazio duale dei bra", da intendere - in generale - come il modo di analizzare gli stati d'animo, e i cui elementi saranno indicati con notazione speculare ai ket, con una parentesi angolare a sinistra e una barra orizzontale a destra.

 

 

 

Per dare un minimo di formalismo - giusto un minimo - si può dire che lo "spazio dei bra" è l'insieme delle funzioni lineari che prendono in input un ket e restituiscono in output un numero che lo codifica: il bra - per così dire - è il linguaggio con cui desideriamo esprimere il ket, o ancora, è l'ombra del ket proiettata sullo spazio dei bra.

 

Come esempio elementare, se prendiamo la nostra emozione mista "felice-triste" (che vive nello spazio dei ket) e vogliamo conoscere i pesi c₁ e c₂ che la caratterizzano (per sapere ad esempio la probabilità di vedere l'uno o l'altro stato) possiamo proiettarla nello spazio dei bra (in cui appunto la si analizza nelle sue componenti).    

 

Più in generale, si può pensare a un ket emozionale che racchiuda tutta l'informazione rilevante sullo stato d'animo sovrapposto di un individuo, a un dato istante.

 

 

Ora, visto che nessuno dichiara apertamente le proprie emozioni, ma che occorre piuttosto trovare una via per farle emergere, un operatore Â si può intendere come un modo per tirar fuori un aspetto dell'emotività dell'individuo, per dare la misura - l'intensità - di ogni specifico stato puro (possiamo anche dire che  è un "esperimento" condotto sull'individuo, per rilevarne una sua caratteristica emotiva).

 

Dovremo allora applicare l'operatore alla nostra emozione, che si trova nello spazio dei ket, e poi analizzarne il contenuto con la proiezione sullo spazio dei bra, per avere l'aspettativa sul grado di felicità dell'individuo.

 

     

Per riassumere: abbiamo uno spazio degli stati emozionali (i ket, in genere in sovrapposizione), un insieme di operatori che possono modificarli, e uno spazio (dei bra) che consente di analizzarli.   

La notazione bra-ket - dall'inglese bracket, cioè parentesi, ché gli oggetti sono racchiusi tra parentesi angolari - è la via scelta da Dirac per descrivere e manipolare gli stati quantici, e offre un eccezionale esempio d'intreccio tra le nozioni fisiche, le strutture matematiche per rappresentarle e le caratteristiche - visive e persino tattili - della notazione impiegata per mediare tra la comprensione dei concetti complessi e la loro facilità di manipolazione, per far interagire le idee fisiche con gli impianti formali.

   

Sui ket |φ> e sui bra <φ| si può costruire tutta un'algebra entro cui è più agevole destreggiarsi perché la notazione stessa incorpora già tutti i dettagli delle regole manipolative ed è indipendente dalla particolare scelta degli elementi (quantità di moto, spin del fotone, spin dell'elettrone, momento angolare, un qubit logico, ...) tant'è che l'abbiamo potuta applicare - a titolo d'esempio - persino agli stati emozionali.

 

Giusto per esibire un caso interessante: un operatore Â (un meccanismo suscettibile di modificare i ket) si può sempre scrivere come prodotto tra un ket e un bra, Â=|ψ><φ|; se ora  agisce sul ket |x>, l'espressione Â|x> si può mettere nella forma |ψ><φ|x>, e poiché <φ|x> è per costruzione uno scalare (un numero) il risultato finale è un multiplo del ket |ψ>; l'operatore Â - in definitiva - è il meccanismo (lineare) che trasforma φ in ψ annientando qualsiasi elemento ortogonale a φ.

     

La storia - ancora una volta - suggerisce di prestare attenzione a tutte le forme - parole, disegni, simboli - che mediano il rapporto dialettico tra realtà e matematica, e talvolta lo oltrepassano per fonderlo in un'unica entità, consentendo agli attori in gioco di costruire e manipolare i loro concetti in sicurezza - ora col filo logico del significato concreto, ora col rigore matematico - affinché il cervello sia affrancato da ogni lavoro inutile e possa concentrarsi su questioni più avanzate, per aumentare il proprio potere di ragionamento.