BELLEZZA E CONOSCENZA - La bellezza della notazione

 

La "notazione" è l'insieme dei simboli usati per sintetizzare i concetti matematici di base. La si può pensare come l'equivalente del dizionario per il linguaggio ordinario: ogni simbolo ha un significato e i simboli si combinano tra loro (secondo le regole matematiche) per articolare concetti più elaborati (proprio come le parole si legano in base alle regole grammaticali, per formare delle frasi dotate di significato).

 

La simbologia si prende la scena a partire dalla seconda metà del XVI secolo, sino a rivoluzionare il modo di "fare matematica": la comunità scientifica diventa via via più consapevole dei vantaggi di una scelta oculata dei simboli, che vengono selezionati per stimolare la riflessione, modificati all'occorrenza, e rigettati se percepiti come ostacoli al fluire del discorso (matematico).

 

 

La star svizzera Leonhard Euler - in italiano noto come Eulero -

il più importante matematico del Settecento, e uno dei massimi della storia.

 Ha dato il suo nome a formule, teoremi, metodi, criteri, relazioni, equazioni,

ma lo si ricorda anche come uno straordinario creatore di simboli:

è sua l'idea di indicare con π il rapporto tra circonferenza e diametro di un cerchio;

di usare la lettera "e" per la base dei logaritmi naturali e la "i" per il numero immaginario;

di esprimere con la scrittura "f(x)" la dipendenza funzionale tra due variabili;

e di usare Σ (la S maiuscola dell'alfabeto greco) per abbreviare la scrittura di una somma.

Ed è lui ad aver scovato quell'identità goniometrica in campo complesso,

da cui deriva - come caso particolare - "la più bella formula della matematica".

 

Ma davvero i simboli matematici sono così rilevanti? Possono sul serio giocare un ruolo nel processo creativo? Non sono - in fondo - soltanto delle convenzioni, delle semplici scorciatoie, delle abbreviazioni per esprimere idee già valide di per sé?

Forse vi sorprenderà, o forse no, ma - sì - la simbologia conta: il modo con cui si dà forma ai concetti influenza la sostanza che se ne può trarre, cosicché il simbolo - la pura forma - crea qualcosa di reale, di nuovo, mette a fuoco percezioni subliminali o connessioni nascoste, svela significati tramite similitudini, analogie e somiglianze (proprio come avviene con le parole del linguaggio ordinario).

 

 

Dal romanzo "Il teorema del pappagallo", di Denis Guedj.

Iniziamo nel modo più semplice, dall'operazione matematica di cui facciamo esperienza ancor prima di studiarla a scuola: l'addizione.

 

Quando si familiarizza con l'addizione si iniziano pure a vedere numerose situazioni in cui serve sommare più volte lo stesso numero (ripetere cioè la stessa operazione su uno stesso oggetto matematico).

Non saprei dire oggi - anno 2026 - ma per un ragazzino della metà degli anni '80 - com'ero io - il pensiero corre alle bustine delle figurine dei calciatori: ognuna ne conteneva 5, e mio padre - se mi comportavo bene - me ne comprava 10 ogni settimana. Quante figurine avrei avuto alla fine di un mese?

Piuttosto che usare una scrittura lunga e ripetitiva, che obbliga a un calcolo sequenziale, passo dopo passo, si preferisce introdurre una notazione specifica, compatta ed esteticamente più gradevole, che si associa a una nuova operazione, o meglio, a un'operazione derivata dall'addizione: la moltiplicazione.

Cinque figurine a pacchetto, per dieci pacchetti a settimana, sapendo che in un mese vi sono quattro settimane, fa 5×10×4=200 figurine. Un gran bel bottino, e sicuramente un calcolo più veloce e pratico rispetto a ripetere 5+5+5+5+... per 40 volte. 

 

Immaginiamo allora di voler sommare 8 volte il numero 2: scriveremmo 2+2+2+2+2+2+2+2, con la notazione dell'addizione, ma ce la caviamo con la scrittura 2×8, se usiamo la notazione della moltiplicazione.

 

Le due notazioni rappresentano la stessa operazione matematica, una in forma estesa e l'altra in forma compatta, e ovviamente si può sempre transitare dall'una all'altra: quando scriviamo 2×8 sappiamo che dietro vi è la somma ripetuta 2+2+2+2+2+2+2+2, e quando eseguiamo la somma ripetuta 2+2+2+2+2+2+2+2 sappiamo di poterla esprimere sinteticamente come 2×8. Stiamo dicendo la stessa cosa, in due modi diversi.

  

 

Tutto elementare, sin qui.

 

E se ora ci trovassimo a dover moltiplicare più volte lo stesso numero?

 

La questione non sembra incontrare delle immediate situazioni di vita quotidiana, ma in ambito matematico si presenta in casi ancora una volta elementari: il prodotto ripetuto di uno stesso numero - ad esempio - conta le funzioni.

 

Il prodotto aritmetico tra due numeri naturali

equivale al prodotto cartesiano in ambito insiemistico: 

dati due insiemi, F ed M , rispettivamente con f ed m elementi,

il prodotto cartesiano F ×M   dà l'insieme di tutte le coppie

che si possono formare con f ed m elementi,

e il totale di queste coppie è il prodotto aritmetico f ×m .

Se abbiamo un insieme F  formato da f =3 femmine,

e un altro insieme M  formato m =4 maschi,

allora il prodotto cartesiano F ×M  

dà l'insieme degli accoppiamenti tra femmine e maschi

(identificati in figura dai punti di incrocio)

e queste coppie - in totale - sono f ×m = 3×4=12.

    

 
 

 

Dati due insiemi F  ed M , con f  ed m elementi,

una funzione matematica f dall'insieme F  all'insieme M

è una regola che a ogni elemento di F  associa uno e un solo elemento di M.

Nell'esempio in figura le femmine sono 3 e i maschi sono 4,

ogni femmina si porta dietro 4 possibili accoppiamenti,

per cui l'insieme F di tutte le possibili funzioni f da F  a M  

 avrà 3×3×3×3 elementi, si potranno cioè definire 3⁴=81 funzioni f.

I matematici hanno introdotto una notazione compatta anche per il prodotto di un numero per sé stesso, per evitare di maneggiare scritture lunghe e ripetitive.

 

Ad esempio, il calcolo 2×2×2×2×2×2×2×2 (il numero 2 moltiplicato 8 volte) è rappresentato scrivendo il numero da moltiplicare più volte (2) e poi quante volte bisogna moltiplicarlo (8) in alto a destra, in carattere più piccolo: 2⁸ è l'operazione di elevamento a potenza.

 

Continua a valere il doppio senso di marcia: 2⁸ è una scrittura sintetica per tener memoria della moltiplicazione ripetuta 2×2×2×2×2×2×2×2, la moltiplicazione ripetuta 2×2×2×2×2×2×2×2 la si può compattare nella scrittura 2⁸, e a ogni momento si può passare dall'una all'altra.

 

 

La notazione si generalizza immediatamente al caso di una ripetizione arbitraria: se vogliamo moltiplicare n volte (una, due, tre, ..., dieci, cento, mille, ...) lo stesso numero (nel nostro esempio il 2) dobbiamo scrivere la lettera n al posto di un numero specifico (8, nell'esempio iniziale) e tutto il discorso (sul significato delle scritture, sulla possibilità di passare dall'una all'altra) preserva la sua validità.

 

 

Già qui si registra però un fatto interessante, accennato all'inizio: le notazioni compatte sono esteticamente più gradevoli, più belle a vedersi - l'esponenziale è un'autentica sciccheria - e al tempo stesso più economiche e funzionali: occupano invariabilmente lo stesso spazio, per quante volte si voglia addizionare o moltiplicare lo stesso numero (laddove le notazioni estese richiedono uno spazio progressivamente più ampio al crescere di n) e veicolano con immediatezza l'operazione da eseguire (capiamo subito quante volte dobbiamo sommare o moltiplicare lo stesso numero, laddove con la notazione estesa dobbiamo contare il numero di addendi o di fattori).

 

Quindi, sì, la scrittura estesa 2×2×2×2×2×2×2×2 e l'associata scrittura compatta 2⁸ diranno pure la stessa cosa, ma il diverso modo con cui la dicono - la loro diversa forma - non è neutrale rispetto a fatti sostanziali. E questa è una caratteristica ricorrente della bellezza: il suo essere ottimizzante e comunicativa.

 

Ma c'è (molto) di più.

 

Immaginiamo che un matematico impertinente passi di qui, e veda la notazione esponenziale.

 

 

E siccome è impertinente, farà una domanda impertinente: cosa succede se a n attribuiamo il valore 1/2?

 

                                         

 

Non si può assegnare un valore frazionario a n - verrebbe da rispondergli - perché non erano questi i patti.

 

Avevamo usato la notazione compatta 2ⁿ nell'intesa che n fosse un numero intero positivo - un numero naturale, se preferite: 1, 2, 3, 4, ..., 100, ..., 1.000, ... - e tutto il castello viene giù, se violiamo gli accordi, se rimuoviamo il vincolo sui valori ammissibili per n, perché non sapremmo più come risalire dalla notazione compatta (2ⁿ) alla notazione estesa con cui si realizza materialmente il calcolo (2×2×...×2).

 

Cosa dovrebbe significare moltiplicare un numero per sé stesso metà volta? A quale scrittura estesa dovrebbe corrispondere 2^1/2?

   

Non ne veniamo a capo, finché pretendiamo di replicare lo schema di partenza. Dobbiamo scalare una marcia, cambiare punto di vista.

Quando un matematico fronteggia un oggetto misterioso - perché al momento 2^1/2 è un mistero, non sappiamo ancora cosa voglia dire - si mette a cercare una via per riportarlo a un oggetto familiare. E come si può ricondurre l'oggetto misterioso 2^1/2 a un oggetto con cui si ha confidenza? Semplice: basta elevarlo al quadrato.

Siamo davanti a una potenza di potenze, un calcolo in cui - in generale - il numero 2^a viene elevato al numero b.
 

 

Le regole delle potenze ci dicono come ridurre una palazzina di esponenti (l'esponente b dell'esponente a) a un solo esponente: è sufficiente moltiplicare tra loro gli esponenti che compaiono nel calcolo.

 

Nel nostro caso abbiamo a=1/2 e b=2, quindi a×b=(1/2)×2=1, e poiché ogni numero rimane invariato se elevato all'unità, il calcolo della nostra potenza di potenza ci restituisce 2.

 

Siamo partiti dalla scrittura 2^1/2 - che continua a essere un oggetto misterioso, un punto interrogativo: non sappiamo quale numero associargli - ma se questo punto interrogativo lo eleviamo al quadrato, ecco che ritroviamo il tranquillizzante numero 2.

 

 

Quindi, se ci chiedessero cosa sia 2^1/2, potremmo rispondere che è quel numero il cui quadrato fa 2. Ripetiamolo: 2^1/2 è quel numero che elevato al quadrato fa 2. Ancora: 2^1/2 elevato al quadrato fa 2.

 

E come si chiama il numero che elevato al quadrato fa 2? Non vi si è aperto nessun cassettino della memoria? Su, avanti! Il numero che elevato al quadrato fa 2 è... la radice quadrata di 2.

 

 

Non ci sarà mai modo di risalire dalla notazione compatta 2^1/2 a una notazione estesa che mostri una moltiplicazione ripetuta, ma si può ancora attribuire un significato a 2^1/2 avendo cura di preservare le regole delle potenze.

 

Diciamolo in altro modo: la scrittura 2^1/2 non ha alcun significato finché noi non gliene attribuiamo uno, e l'attribuzione di un significato impone l'uso di una convenzione; ma l'unica convenzione che rispetta l'impianto di calcolo delle potenze è quella che attribuisce a 2^1/2 il valore √2.

 

A questo punto, con la stessa logica, possiamo dare un significato pure a scritture del tipo 2⁰  e 2^-n, a cui chiaramente non si associa nessuna moltiplicazione ripetuta, ma a cui - ancora una volta - si può attribuire un valore numerico coerente con le premesse.

 

Le proprietà delle potenze ci dicono che 2ⁿ/2^m (il rapporto tra due potenze con una stessa base, nel nostro esempio il 2) è uguale a 2^n-m (la base elevata alla differenza tra esponenti); sappiamo - banalmente - che un numero diviso sé stesso dà sempre 1, quindi, ad esempio, 2ⁿ/2ⁿ=1; ma dalle proprietà delle potenze sappiamo che 2ⁿ/2ⁿ si può scrivere come 2^n-n e chiaramente n-n=0, quindi viene naturale fissare la convenzione 2⁰ =1.

 

Attenzione! Questa non è la dimostrazione che 2⁰ =1.

 

Alla scrittura 2⁰ non si può attribuire alcun significato in automatico, nulla può cioè dirsi sul valore di 2⁰ muovendo da premesse note. Semplicemente si osserva che da un lato 2ⁿ/2ⁿ=l, e dall'altro 2ⁿ/2ⁿ=2⁰ per cui sembra ben naturale fissare per definizione 2⁰ =1.

 

Stessa storia per 2^-n. Questa espressione non ha ancora alcun significato, però -n=0-n per cui è naturale porre per definizione 2^-n=2^0-n; e con l'utilizzo della proprietà 2^n-m=2ⁿ/2^m e della convenzione precedente 2⁰ =1 si può porre per definizione 2^-n=(1/2ⁿ).

 

Lascio a voi capire - come semplice esercizio - cosa voglia dire 2^1/n, e in generale 2^m/n. 

 

 

Dal romanzo "Il teorema del pappagallo", di Denis Guedj.

 

Rimaniamo ancora sulle moltiplicazioni ripetute, ma variamo la prospettiva.

 

Numerosi problemi matematici - e neanche così complicati - richiedono di eseguire la moltiplicazione dei primi n numeri naturali.

Ad esempio, per n=5, può esserci la necessità di calcolare il prodotto 5×4×3×2×1 (il numero 1 sembra superfluo, perché l'1 è l'elemento neutro del prodotto e quindi 5×4×3×2×1=5×4×3×2, ma conviene tenerlo dentro per ragioni che saranno chiare tra un istante).

 

La ricorrenza del calcolo ha suggerito - di nuovo - una notazione compatta, più elegante: per indicare il prodotto dei primi n numeri naturali si usa scrivere l'ultimo numero n seguito da un punto esclamativo, n!, che si chiama "n fattoriale" (ed ecco perché conviene partire da 1: per poter dare un significato immediato alla scrittura 1!).

 

Il fattoriale di n=5 è quindi:

 

 

 

In generale abbiamo la seguente definizione:

La notazione compatta stimola anche qui delle domande che non si porrebbero con la notazione estesa: cosa accade se a n attribuiamo un numero reale positivo arbitrario, ad esempio 1/2?

 

                                                            

Non esiste una notazione estesa per la scrittura 1/2! perché il fattoriale moltiplica numeri successivi (da 1 a n) e tra i numeri reali non esistono i concetti di "successivo" e "precedente": dopo l'1 viene il 2, prima del 4 c'è il 3, ma prima di 1/2=0,50 cosa viene? 0,49? No! 0,499? No! 0,4999? No! Non esiste il "precedente" di 1/2, perché qualunque numero si dica se ne potranno sempre intercalare infiniti altri, e quindi cosa si dovrebbe moltiplicare in concreto?

 
Per estendere la funzione n! al dominio dei numeri reali positivi si deve ragionare-matematico.

La cosa in sé - il noumeno dei filosofi - è un concetto privo di senso, per un matematico. Nessun matematico s'interessa alle cose in sé, a nessuno importa di sapere cosa siano i punti, le rette, i numeri o le misure, per se, ma tutti s'interrogano sulle relazioni tra le cose - sul fatto che per due punti passa una retta, che le misure sono additive, che i numeri si combinano tra loro per produrre altri numeri - si è cioè attratti dalle proprietà matematiche delle cose, che ne rappresentano l'unica realtà conoscibile.
 

Quali sono allora le proprietà della funzione fattoriale sul dominio dei numeri naturali, di là della definizione iniziale come prodotto dei primi n numeri naturali?

 

Una prima proprietà - ovvia - è 1!=1.

 

Un'altra proprietà auto-evidente è n!=n×(n-1)!, che dà la possibilità di calcolare n! per via ricorsiva, moltiplicando per n il fattoriale (n-1)!

 

La funzione f(n)=n! - definita sull'insieme N dei numeri naturali - è pertanto individuata dalla formula f(n)=n×f(n-1), con la condizione iniziale f(1)=1.

 

Se si vuole estendere f(n) al campo dei reali positivi R⁺ si deve allora cercare una funzione matematica Γ(x) che preservi le due proprietà caratteristiche di f(n), vale a dire una funzione Γ(x) tale che Γ(1)=1 e Γ(x)=xΓ(x-1): siamo al cospetto di una equazione funzionale.

Un'equazione matematica - in generale - è una relazione tra oggetti matematici in cui compaiono una o più incognite, che, una volta svelate, soddisfano l'equazione, la rendono vera.

 

A scuola si familiarizza con equazioni in cui le incognite sono numeri, e precisamente numeri x che soddisfano espressioni polinomiali uguagliate a zero, chiamate equazioni algebriche. Un tempo non breve della vita scolastica è trascorso a trovare il numero x che soddisfa equazioni di primo e secondo grado, oggetti del tipo ax+b=0 e ax²+bx+c=0, con a, b e c numeri arbitrari.

 

Nei licei scientifici si fa conoscenza con le equazioni differenziali, in cui le incognite sono funzioni, da ricavare a partire dal legame stabilito dall'equazione tra la funzione originaria e le sue derivate.

 

Anche nelle equazioni funzionali - che sono qui il motivo d'interesse - le incognite sono funzioni, ma l'equazione fissa dei vincoli tra i valori della funzione stessa.

Un'equazione funzionale può richiedere ad esempio di trovare la f(x) che soddisfa la proprietà additiva f(x₁+x₂)=f(x₁)+f(x₂), per cui la funzione di una somma si può scomporre nella somma delle funzioni degli addendi, e l'unica soluzione è la funzione lineare f(x)=ax, con a numero reale scelto a piacere.

 

Con un'equazione del tipo g(x₁x₂)=g(x₁)g(x₂) si ricerca invece la funzione separabile nel prodotto dei suoi argomenti e la soluzione è la funzione esponenziale, g(x)=x^a, anche qui con a numero reale arbitrario.

 

Se si vuole la funzione che trasforma la moltiplicazione in un'addizione, l(x₁x₂)=l(x₁)+l(x₂), la si troverà nel logaritmo, l(x)=logx, qualunque sia la base (positiva).

 
E per l'equazione funzionale Γ(x)=xΓ(x-1) con la condizione al contorno Γ(1)=1 - che estende il fattoriale ai reali positivi - cosa si può dire?

 

La sua espressione la ricavò Eulero, con una serie di passaggi piuttosto disinvolti, ma giustificabili in base della cultura matematica dell'epoca, e che comunque condussero al risultato esatto:

 

 

La funzione Γ(x) può intimorire, se ci si aspettava di trovare una formula semplice come una moltiplicazione (da cui si è partiti per definire il fattoriale) ma è proprio questa la soluzione, come i più bravi possono verificare controllando che per ogni numero naturale n vale la proprietà Γ(n)=f(n)=n!

Dentro Γ(x) è quindi contenuta l'originaria funzione f(n), ma a ora - grazie a Γ(x) - possiamo calcolare il fattoriale di qualunque numero reale positivo x - ad esempio per x=1/2 si ha Γ(1/2)=√π - ed è un calcolo che rivela sorprese.

La funzione originaria f(n)=n! è monotona crescente, come dicono i matematici: se n aumenta, allora anche n! aumenta, una proprietà che si conserva su tutto l'insieme dei numeri naturali N.

La funzione estesa Γ(x) si presenta invece monotona decrescente nel tratto (0, 1) per poi recuperare la monotonia crescente - tipica di f(n) - sul tratto (1, ∞).

D'altra parte, avevamo imposto solo le condizioni Γ(1)=1 e Γ(x)=xΓ(x-1) quando abbiamo creato Γ(x) a partire da f(n), e quindi può ben accadere che nel passare da f(n) a Γ(x) le caratteristiche non sottoposte a vincoli - come la monotonia - vengano meno, sino a portare a funzioni qualitativamente diverse.

Il grafico della funzione Γ(x) sull'intervallo (0, 6) alla vostra sinistra,

 e un zoom della stessa funzione sull'intervallo (0,1) alla vostra destra:

tra 0 e 1 la funzione decresce molto rapidamente,

per poi aumentare in accordo con la velocità del fattoriale.

La funzione Γ(x) si può estendere anche ai numeri negativi,

e qui ne vedete il grafico, che si allontana ancor più dall'originaria f(n).

E il fattoriale di 0?

La funzione Γ(x) non ci dice nulla sul valore 0! e d'altra parte la scrittura 0! ha ancor meno a che fare con le moltiplicazioni di quanto già poco aveva a che fare 1/2! (perché semmai entrasse in gioco una moltiplicazione per lo 0, allora il risultato sarebbe esso stesso zero).

Qualcuno ricorderà forse di aver sentito a scuola che 0! è uguale a 1 per convenzione.

Sì, certo, ovvio: tutte le volte che fronteggiamo un oggetto matematico sconosciuto - come 2^1/2, 1/2! oppure 0! - c'è sempre un aspetto convenzionale nella sua caratterizzazione, perché siamo a noi a stabilire cosa voglia dire quella scrittura - 2^1/2, 1/2!, 0! - che non ha nessun significato sin quando non gliene attribuiamo uno, convenzionalmente.

Ma la libertà della convenzione incontra un limite nel rispetto delle proprietà generali dell'ambiente in cui il nuovo oggetto va a inserirsi: siamo liberi di assegnare i significati che vogliamo a 2^1/2, a 1/2! o a 0!, nella misura in cui quei significati convenzionali preservano le proprietà del fattoriale e le regole delle potenze; e così si scopre che quelle convenzioni non sono fissate ad arbitrio o a capriccio, ma rispondono a un obiettivo preciso, e spesso sono le uniche ammissibili.

 

E quelle convenzioni - dettate da motivi sostanziali - si rivelano anche le più eleganti, le più belle, come il fattoriale ci dà occasione di vedere.

 

Tutti i numeri sono uguali davanti alla matematica, ma qualcuno è più uguale: ci sono numeri che più di altri colpiscono l'immaginazione, per ciò che rappresentano e per la frequenza con cui entrano in gioco nelle situazioni più disparate, sino a diventare parte del folklore popolare.

 

Il mitico π rimane irraggiungibile, ma subito dopo troviamo il numero e di Nepero, e il fatto di indicare dei numeri con delle lettere (anziché col tradizionale allineamento di cifre) ce ne rivela la natura: π ed e sono irrazionali, numeri con infinite cifre dopo la virgola, che si succedono senza trovare la pace di una regolarità (e quindi non si possono scrivere tutte, perché, banalmente, prima o poi ci si dovrà fermare) imponendo il ricorso a una notazione specifica.

 

Se dividiamo due numeri interi, n e m, possiamo trovare un altro numero intero o un numero con la virgola; in questo secondo caso, le cifre dopo la virgola possono essere in numero finito oppure infinite, ma esibiranno comunque una struttura ciclica (eventualmente preceduta da un anti-periodo).

 

Se n=8 e m=4, allora n/m=2, e abbiamo un altro numero intero.

Se n=1 e m=4, allora n/m=0,25 e abbiamo un numero finito con due cifre dopo la virgola.

Se n=22 e m=7 allora n/m=3,142857142857142857..., un numero con infinite cifre dopo la virgola, che solo gli stralunati possono confondere con π.

Il numero 22/7 presenta il blocco di cifre 142857 che si ripete all'infinito dopo la virgola: 22/7=3,142857142857142857... e avanti così, di 142857 in 142857, all'infinito; 22/7 è uguale - come si dice - a "3 virgola 142857 periodico".

Il numero π è tutta un'altra storia: condivide con 22/7 le prime due cifre dopo la virgola, ma poi se ne va per fatti suoi, all'infinito, senza alcuna possibilità di trovare una ricorrenza nelle cifre decimali: π=3,1415926535897932384626433...

 

Nessuno potrà mai conoscere π con esattezza, per il suo essere illimitato in dimensione estetica, laddove noi umani possiamo sperimentare solo il finito, grande quanto si vuole, ma pur sempre finito (possiamo cioè allineare quante cifre vogliamo dopo la virgola, ma a un certo punto siamo obbligati a fermarci, mentre π prosegue ancora - e ancora e ancora, senza fine - in modo imprevedibile).

 

Lo stesso vale per il numero e, che nel suo tratto iniziale si presenta così:

  

 

Non possiamo esprimere esattamente e o π attraverso una frazione, però possiamo approssimarli con tutta la precisione che vogliamo attraverso frazioni ben scelte, pur di considerarne abbastanza.

Il numero e si scopre allora legato al fattoriale dalla seguente relazione:

 

   

 

Se ci fermiamo alla somma dei primi cinque termini, 1+(1/1!)+(1/2!)+(1/3!)+(1/4!), e tronchiamo il risultato alla seconda cifra decimale, abbiamo un 2,71 che approssima e sino al secondo decimale; se vi aggiungiamo gli altri cinque addendi, (1/5!)+(1/6!)+(1/7!)+(1/8!)+(1/9!), arriviamo a scrivere 2,718281, che approssima e sino alla sesta cifra decimale; quindi, in definitiva, non potremo mai conoscere il valore di e, ma possiamo avvicinarci ad e quanto vogliamo, aggiungendo a piacimento frazioni del tipo 1/n! alla nostra somma.

 

Ora, se già scritture del tipo 2+2+2+...+2 e 2×2×2×...×2, col numero 2 ripetuto n volte, erano giudicate brutte e scomode, figurarsi quando ci si trova con una sequenza infinta di addendi, che si deve di necessità arrestare, lasciando dei puntini di sospensione per fare capire che la storia in realtà continua: un orrore di notazione!

I matematici hanno introdotto - anche qui, di nuovo - una scrittura compatta ed evocativa: la lettera greca Σ (la S maiuscola, la S di somma).

 

La somma dei primi cinque addendi dello sviluppo di e - ad esempio - viene scritta nella forma compatta:

 

Abbiamo cinque addendi diversi, ma tutti esprimibili nella stessa forma, (1/n!), che possiamo quindi usare per rappresentarli in blocco, con la precisazione che n varia tra 0 e 4.

 

Ma poiché e richiede la somma di infinite frazioni del tipo (1/n!), la scrittura esatta sarà:

 

che è obiettivamente più bella ed elegante di una lunga scrittura del tipo e=1+1/1!+1/2!+1/3!+... (che sarebbe comunque incompleta per quanti termini 1/n! si volessero ancora aggiungere, e con quei tre puntini di sospensione che - nel voler richiamare l'infinto - finiscono con l'essere una toppa più brutta del buco).

 

Non sarà sfuggito che il primo termine della sommatoria estesa è 1, ma - almeno nella forma - non coinvolge il fattoriale; anche il secondo termine è uguale a 1, e qui invece il fattoriale compare (1/1!).

Però, quando si tratta di compattare la somma sotto il simbolo Σ, dobbiamo dare una forma fattoriale anche al primo addendo (al primo 1 della somma) e possiamo farlo semplicemente dividendolo per 0! (che sappiamo essere uguale a 1) cosicché i primi due addendi della somma sono entrambi 1, col primo espresso come 1/0! e il secondo come 1/1!.

 

Se 0! non fosse uguale a 1 - se per disgrazia fosse lecito attribuirgli qualche altro valore - si perderebbe l'eleganza della rappresentazione del numero e, la possibilità di avere una notazione compatta ed esaustiva per esprimere e.

Se 0! fosse diverso da 1, allora si sarebbe obbligati a portare il primo 1 fuori dal simbolo Σ e far partire la sommatoria da 1 anziché da 0:

 

 

Parecchio brutta, rispetto alla notazione compatta, non trovate?

 

Giriamola in altro modo: se si volesse preservare la notazione compatta, ci si troverebbe nella sgradevole condizione di non poter più definire e - il numero di nostro interesse - ma soltanto e-1.

 

La convenzione 0!=1 rispetta i canoni estetici di eleganza matematica - è compatta ed esaustiva - ma è anche ineludibile.

 

 

Immaginiamo di avere cinque palle di colore diverso (viola, verde, blu, arancione e rosso).

 

Ci chiediamo in quanti modi le possiamo dividere in due gruppi, uno di tre e l'altro di due.

 

Volendo - con la santa pazienza - possiamo enumerare le diverse possibilità, e arriveremo a scoprire che vi sono 10 modi per effettuare la suddivisione.

 

 

Però sarebbe bello avere una regola generale, valida per numeri naturali arbitrari: se abbiamo n elementi distinti, quanti sono gli N possibili modi per dividerli in due gruppi, uno con k elementi e l'altro con (n-k)?

 

Esiste una formula matematica che risponde alla domanda?

Si, esiste, e coinvolge il fattoriale.

 

 

Potete verificare da voi che per n=5 e k=3 si ha N=10, il risultato a cui si arriva con l'esecuzione manuale, ora raggiunto più rapidamente (e l'uso della formula diventa un passaggio obbligato al crescere di n, perché eseguire i conteggi "a mano" sarebbe via via più proibitivo).

E la bellezza della formula - ancora una volta - sta nella sua compattezza ed esaustività, nel fatto che funziona sempre per qualunque numero k<n, incluso lo zero.

 

Cosa significa k=0? Vuol dire che si ha un gruppo inclusivo di tutti gli n elementi inziali e un gruppo vuoto, e quindi N=1.

 

 

La convenzione 0!=1 preserva la validità della formula anche nel caso estremo k=0, che si riduce a n!/n!, e quindi restituisce N=1, proprio come deve essere.

 

   

Le scritture 2ⁿ e n! non sono semplicemente forme estetiche più eleganti, per esprimere concetti matematici di per sé già ben definiti nella loro sostanza; la loro eleganza apre porte che sarebbero rimaste blindate - e che probabilmente i più non avrebbero neppure visto - se ci si fosse irretiti in una notazione - in una forma - inadeguata; un cambio di simbolismo apparentemente modesto - il passaggio da notazioni estese ad altre compatte ed esaustive - ha allargato la prospettiva e sollecitato l'intelligenza a concentrarsi su problemi avanzati, aumentando il potere di ragionamento.

 

Non voglio spingermi a dire che solo una notazione più elegante nella forma può far sorgere domande da cui derivano progressi sostanziali - e non dubito che i grandi matematici avrebbero prodotto una matematica straordinaria a prescindere dai simboli - ma sono anche convinto che il loro lavoro avrebbe incontrato ostacoli notevoli, in un mondo con simboli brutti e ineleganti.

 

Perché forma e sostanza, formalismo e bellezza - in matematica e non solo - sono specchi che si riflettono reciprocamente, ognuno al tempo stesso causa ed effetto del processo evolutivo della conoscenza.