Per Carl Friedrich Gauss - il princeps mathematicorum - non si sarebbe mai diventati dei matematici di prima grandezza se non si fosse capita al volo quella formula che più d'un secolo dopo Richard Feynman annotò nel suo quaderno di liceale come "la più straordinaria di tutta la matematica", e che sarebbe stata eletta "la più bella di tutti i tempi" dalla rivista "The mathematical intelligencer", nel 1988.

Una formula è bella - secondo i canoni della comunità matematica - se è informativa, compatta, imprevedibile e necessaria; se comunica un messaggio articolato, significativo e inatteso, con economia di simboli e segni, così ben incastrati da trasmettere una sensazione di inevitabilità; se alterna armoniosamente semplicità formale e profondità concettuale, sorpresa e fatalità, tensione e calma.

Ritorna, amplificato, il gioco di contrasti già visto nella bellezza di un teorema - in quel caso riferito alla contrapposizione tra la semplicità della tesi e la complessità della dimostrazione - ma il modo più veloce per cogliere la bellezza di una formula è confrontarla con una formula brutta, e meglio ancora con la più brutta formula di tutta la matematica (scovata peraltro dalla "figura più romantica della matematica", l'indiano Srinivasa Ramanujan, "in qualche senso un matematico di prima grandezza", nel giudizio di Hardy).

Da un lato abbiamo il familiare numero π, dall'altro una sua caratterizzazione che irrigidisce, incute timore, di sicuro non incuriosisce e quindi non invoglia a saperne di più.

La formula di Ramanujan non canta - ha osservato un matematico - non sembra raccontare nulla di nuovo su π, e dà anzi la sensazione di complicare inutilmente un concetto semplice (il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio). E' obiettivamente una formula pesante e oscura, soprattutto se paragonata alla formula più bella, che si presenta leggera e limpida.

Serve dire che le cosiddette "formule di Ramanujan" - oltre a quella mostrata ve ne sono altre della stessa classe, tutte ugualmente brutte - forniscono approssimazioni eccellenti di π, rispetto ai metodi tradizionali; ma qui parliamo di bellezza, e la bellezza non è vincolata all'utilità pratica o al tornaconto immediato; la bellezza risponde solo a sé stessa.

C'è dell'altro, un risvolto più sottile e profondo: è l'estetica di una formula - l'esatta scrittura formale con cui la si esprime - a determinarne tutta la sua bellezza; se si altera la forma, pure la bellezza viene meno, e anche se la sostanza è rimasta invariata, senza bellezza non c'è attrazione, e senza attrazione scema il desiderio di sapere.

La più bella formula della matematica - volendo - potremmo scriverla così:

Non abbiamo fatto altro che spostare il numero 1 al secondo membro (cambiandogli il segno) e sostituire a i la sua espressione formale (radice quadrata di -1).

La sostanza della formula è la stessa, ma la sua bellezza è sfiorita: è scomparso un personaggio, il numero zero, con tutto il suo fascino; ed è scomparso il segno "+" (il primo e più semplice operatore matematico) sostituto dal segno "-" (che ne rappresenta l'emanazione contraria); di conseguenza ha cambiato aspetto anche un altro personaggio - il numero 1 - che si ritrova adesso caratterizzato come numero negativo (anche qui come riflesso di una più naturale quantità positiva); aver sostituito i con la radice quadrata di -1 ha poi fatto collassare il significato logico (sostanziale) del numero immaginario nella sua espressione algebrica (di natura convenzionale) inducendo con ogni probabilità una ritrosia nello spettatore (giacché - per molti - la radice quadrata di -1 è un no-sense: quale mai sarebbe il numero che elevato al quadrato dà -1?).

Si potrebbe dire - provocatoriamente - che cambiando la forma è cambiata la sostanza, perché sono stati alterati quei profili estetici che portano con sé tutti gli incentivi ad approfondire, a capire meglio, a saperne di più.

E di sicuro la rinuncia alla forma originaria - eⁱ^π+1=0 - avrebbe creato parecchi problemi ai Van der Graff Generator, al momento di buttar giù le strofe della canzone dedicata appunto alla più bella formula della matematica.

L'idea di una bellezza matematica - la percezione di una gerarchia estetica nelle formule - è così radicata nella psicologia da aver indotto un gruppo di ricercatori a un'esplorazione "fisica" del fenomeno, attraverso risonanze magnetiche funzionali: la visione di una bella formula - dice l'esperimento - sollecita le stesse aree del cervello che si attivano davanti a un'opera di Beethoven o Michelangelo, esiste cioè una precisa risposta celebrale davanti al bello, di qualunque natura esso sia.

Con una qualificazione fondamentale, però: se la bellezza di una sinfonia o di un dipinto si possono tutto sommato apprezzare anche senza una specifica preparazione artistica, la percezione della bellezza di una formula è maggiormente dipendente dal possesso di una solida cultura - non necessariamente matematica - a testimoniare e rafforzare l'intreccio tra bellezza e conoscenza, a ricordare - citando Bertrand Russell - che la bellezza matematica è "fredda e austera", "non fa appello ai nostri sentimenti più grossolani", "non ha gli ornamenti sgargianti della musica o della pittura", ma è "pura e sublime, capace della rigorosa perfezione, propria solo della più grande arte", e perciò meno influenzata da condizionamenti culturali, riflessioni filosofiche e dal peso della tradizione.

Gli esiti della ricerca rimangono questionabili, esposti a critiche. C'è chi ha contro-argomentato - non senza ragioni - che la bellezza è una percezione complessa e non ci si può illudere di rinchiuderla in una scatola, di rilevarla con sufficiente precisione attraverso la semplice scansione di una risonanza.

Sicuramente la risposta cerebrale alla bellezza richiede (impone) numerose precisazioni, e si rischiano brutti scivoloni se si approccia alla questione con superficialità; ma l'idea di un meccanismo comune ai processi neurali di apprezzamento della bellezza offre una prospettiva privilegiata per risalire all'essenza del fenomeno.

Estratto dall'articolo "Il senso dei matematici per la bellezza delle equazioni",

pubblicato sulla edizione italiana della rivista "Scientific American", l'8 marzo 2014.

Il punto rimane: eⁱ^π+1=0 è universalmente riconosciuta come la più bella formula di tutta la matematica.

E qui s'impone una precisazione: parliamo e continueremo a parlare di formula, per rispettare la tradizione, ma ciò che fronteggiamo - a esprimersi con rigore - è un calcolo, come può esserlo 2³+7=15 o a voler banalizzare 2+2=4. Tutto ciò che compare in eⁱ^π+1=0 - e, i, π, 1, 0 - sono numeri e nient'altro che numeri, e la cosiddetta formula non fa altro che legarli tra loro, come 2³+7=15 lega tra loro il 2, il 3, il 7 e il 15, come 2+2=4 lega il 2 e il 4.

Quindi - a dirlo bene - in eⁱ^π+1=0 non c'è nulla da dimostrare così come non c'è niente da dimostrare in 2³+7=15 o in 2+2=4. Dobbiamo solo verificare l'esattezza del calcolo, e infatti il nome proprio di eⁱ^π+1=0 è identità di Eulero, dove l'enfasi va non tanto su Eulero, che la scovò per primo nella sua forma generale, quanto su identità, sul fatto cioè che la formula è in realtà una tautologia, afferma una cosa vera per definizione, com'è sempre vero che 2³+7=15 e 2+2=4.

L'identità di Eulero,

l'espressione generale della più bella formula della matematica,

che coinvolge le funzioni trigonometriche coseno (cos) e seno (sin).

Se si pone θ=π, al primo membro si ha eⁱ^π e al secondo cos(π)=-1 e sen(π)=0;

viene quindi eⁱ^π=-1, e se si sposta -1 al primo membro si ha eⁱ^π+1=0.

Ma se eⁱ^π+1=0 ve la raccontano in modo così freddo e formale,

la trovate ancora altrettanto bella?

Sicuramente, però, in eⁱ^π+1=0 ci sono un fascino, una poesia e una magia, che non ritroviamo in 2³+7=15 né in 2+2=4 né in qualsiasi altro calcolo: appaiono tre numeri (e, i, π) espressi a lettere anziché in cifre, che lasciano intravedere uno status speciale; e ce ne sono altri due (lo 0 e l'1) in apparenza della massima semplicità; la nostra formula lega così dei numeri dalle sembianze complicate ad altri a prima vista elementari, e lo fa con una scrittura tersa, essenziale, che invoglia a conoscere meglio gli uni e gli altri, per poi magari farci scoprire la semplicità dietro l'apparente complessità e un'inattesa complessità dietro una parvenza di semplicità.

Per capire la più bella formula della matematica, per dare un senso a eⁱ^π+1=0, dobbiamo prima di tutto fare la conoscenza dei cinque personaggi che le danno vita - lo 0 e l'1, l'immaginario i, il mitico π e l'esosa e - e servirà allora intraprendere un viaggio più lungo di quel che si può intuire a buon senso, esplorare luoghi di cui nemmeno concepivamo l'esistenza, e scoprire così una rete di connessioni sorprendenti tra argomenti distanti, tra teoria e pratica, tra matematica e poesia, numeri e filosofia, scienza e religione; e tutto questo solo perché ci eravamo messi in testa di capire cosa volesse dire eⁱ^π+1=0.

La grande bellezza di eⁱ^π+1=0 è tutta qui: è un calcolo che affabula e intriga, che promette con discrezione e mantiene infinitamente di più di quel che promette.

Lo 0 e l'1

Lo zero: né positivo né negativo, né primo né composto, senza opposto né reciproco, lo guardi e non lo vedi, ma se lo adoperi è inesauribile. Nessun concetto elementare della matematica moderna vanta una storia così affascinante come quella dello zero, il simbolo del nulla.

L'uno: dal latino uni, singolarità, ma al tempo stesso il principio di tutto, il numero col quale si possono creare tutti gli altri numeri, attraverso l'addizione, 2=1+1, 3=1+1+1, ... e avanti senza fine. Uno, il simbolo dell'unitarietà, suscettibile di condurre all'infinito.

Se per noi - oggi - l'esistenza dello zero e dell'uno è scontata, se ci sembra addirittura impossibile una matematica che ne possa fare a meno, è solo perché le più grandi intelligenze del passato sono arrivate a conferire a questi due numeri - lo zero e l'uno - senso, dignità e rilevanza.

Dal romanzo "Il teorema del pappagallo", di Denis Guedj.

Il "significato di zero" - avverte Bertrand Russell, nei "Principles of Mathematics" del 1903 - "rappresenta una questione di grande difficoltà, da trattare con estrema cura, se si vuole evitare di incorrere in contraddizioni".

Sembra un avvertimento inutilmente enfatico, ché oggi ogni bambino di scuola elementare convive in tutta serenità con lo zero e impara a maneggiarlo senza problemi.

Ma fermiamoci un attimo e riflettiamo: lo zero è paradossale, è un simbolo per denotare il nulla, e serve un notevole sforzo di astrazione per arrivare a concepirlo.

Non a caso lo zero entra tardi nel linguaggio matematico, e se vogliamo per un motivo banale: non serviva nei conteggi e nelle misurazioni. Nessun pastore aveva bisogno di tenere il conto delle pecore che non erano uscite dall'ovile, nessun insegnante chiamava l'appello in un classe vuota, nessuna massaia andava al mercato a comprare zero pesci, nessun viaggiatore percorreva una distanza nulla, e quindi non vi era bisogno di un simbolo da collegare alla mancanza di qualcosa.

Ed è proprio l'assenza dello zero nella pratica spicciola a renderlo il più civilizzato ed evoluto dei numeri: il suo impiego è imposto da esigenze che oltrepassano le strette necessità di ogni giorno, è legato all'esercizio di una razionalità così raffinata da non essere colta neppure dagli antichi greci, pregiudizialmente scettici verso una matematica sganciata dalla geometria, e comunque più preoccupati dall'apparente sconvolgimento che lo zero avrebbe creato nel sistema dei numeri che non attratti dai vantaggi del suo impiego (solo gli astronomi lo usavano, proprio perché i benefici che ne traevano superavano di gran lunga i piccoli fastidi che gli causava).

Sul piano formale la necessità dello zero - di una presenza che segnali un'assenza - si avverte nell'istante in cui entra in gioco il sistema numerico posizionale.

Oggi noi troviamo normale la scrittura 5555, in cui uno stesso simbolo (il cinque, "5") assume significati diversi in ragione della posizione occupata: cinque migliaia, cinque centinaia, cinque decine, cinque unità, procedendo nella lettura del numero da sinistra verso destra.

Ma il sistema posizionale - la dipendenza del valore di un segno dalla sua posizione, nella scrittura del numero - è la rappresentazione numerica più evoluta in assoluto: non è mai stata scalzata o messa in crisi da nessun altra, dopo la sua introduzione, sino diventare lo standard incontrastato; è solo la nostra assuefazione al suo utilizzo a darci un'impressione di naturalezza, se non di ovvietà, di un sistema che di naturale e ovvio non ha proprio nulla.

Ora, il sistema posizionale aveva sì l'immenso vantaggio di far economia di simboli - permetteva di scrivere numeri anche elevati con pochi segni, con grandi vantaggi nell'esecuzione dei calcoli - ma presentava pure un esiziale difetto di chiarezza: come distinguere i numeri cinquecentodue, cinquemiladue, cinquantamiladue? Il valore dei segni "5" e "2" dipendeva dalla loro posizione nella scrittura del numero, ma come segnalare il fatto che tra il 5 e il 2 vi era ora un vuoto (assenza di decine) ora due vuoti (assenza di decine e centinaia) ora tre (assenza di decine, centinaia e migliaia)? Lasciare vuoto il vuoto - se è permesso il gioco di parole - creava un'ambiguità intollerabile. Che numero sarebbe 5 2? Cinquecentodue, cinquemiladue o cinquantamiladue? Quanti spazi vuoti ci sono tra 5 e 2?

La scrittura di un numero avrebbe sofferto di un'insopportabile ambiguità, ogni qual volta non fosse stata presente una potenza della base di numerazione, e la matematica non può tollerare incertezze nella rappresentazione dei suoi oggetti.

Serviva uscire dalla sfera dell'intuizione, dell'analogia, dell'incerta raffigurazione e della ancor più incerta rappresentazione scritta degli ordini di grandezza. Serviva un simbolo per concretizzare il nulla. Serviva una presenza che segnalasse un'assenza. Serviva lo zero.

Sembra di sentire l'eco delle parole del matematico arabo al-Khwārizmī,

nelle strofe delle canzone "Zero" di Marco Masini:

"il zeuero per sé solo non significa nulla ma è potentia di fare significare.

Et decina o centinaia o migliaia non si puote scrivere senza questo segno 0".

Perché se è già complicato distinguere cinquecentodue da cinquemiladue senza far uso dello zero,

provate a scrivere cento, centomila, un milione... senza gli zero, se ne siete capaci.

Nessuno sa dire con precisione dove e quando sia stato concepito lo zero: i grandi concetti, le idee innovatrici - che segnano una "rottura epistemologica" avrebbe il filosofo Gaston Bachelard - non hanno una culla, un luogo di nascita o un cartellino identificativo, ma sono il prodotto di una serie di migrazioni e ibridazioni, di mescolanze e contaminazioni, che nel caso dello zero avvengono per di più su larga scala, in una vasta area geografica.

Lo zero fa avanti e indietro per secoli, tra Mesopotamia, Grecia e India, ma stenta a manifestarsi, tanto da renderne problematica un'attribuzione sicura. Concetto multietnico per eccellenza, emerge come esito di lunghe serie di mutazioni, slittamenti di significato e incroci, nel corso di lenti processi di sviluppo e metamorfosi che passano attraverso culture e linguaggi diversi, come un fiume carsico che scompare e riaffiora in luoghi e sotto forma di simboli diversi, a denotare una varietà di usi e significati.

Da una prospettiva puramente matematica, i babilonesi sono il primo popolo a usare un sistema posizionale, quindi i primi - in teoria - a sentire il bisogno dello zero. Lo introducono tuttavia solo intorno al 300 a.C., con simboli specifici che peraltro non avevano lo status di numeri veri e propri, ma assolvevano una semplice funzione di segnaposto (per indicare che quel posto era vuoto).

I segni babilonesi per indicare uno spazio vuoto nella scrittura dei numeri.

Rimane tuttavia problematico stabilire se lo zero sia stato arrivato a Babilonia dalla Grecia, con le azioni belliche di Alessandro Magno, o se il condottiero lo abbia invece portato in patria insieme ad altri bottini di guerra, quando conquistò ciò che rimaneva dell'Impero babilonese, intorno al 326 a.C.

Sicuramente tra il 180 a.C. e il 10 d.C. vi fu un continuo scambio di esperienze tra Grecia e India, sino alla formazione di un Regno Indo-Greco, in cui le due culture vissero fianco a fianco. I commerci erano intensi e insieme alle merci viaggiavano anche le idee. Gli indiani entrarono in possesso dei trattati astronomici dei greci, in cui un simbolo simile allo zero - "o" di οὺδἐν, ouden, nulla, niente - era utilizzato ancora come segnaposto, e fu allora che si ebbe una confluenza di suggestioni che avrebbero condotto all'idea moderna di sistema numerico (posizionale in base 10, dotato dello zero).

E' il matematico Brahmagupta, intorno al 628 d.C., a fornire il primo esempio di un'aritmetica inclusiva dei numeri negativi e dello zero, nella sua opera "Brahmasphuta Siddhānta" ("Lo schiudersi dell'universo").

Con ogni probabilità ne diede occasione la contabilità (gli indiani registravano debiti e crediti rispettivamente in nero e in rosso, contrariamente a quanto sarebbe poi avvenuto in occidente, e lo zero serviva a esprimere il pareggio, l'entità di un credito uguale a quella di un debito) ma Brahmagupta mise in piedi un ingegnoso sistema di calcolo, lavorò con numeri dotati di segno per risolvere particolari equazioni, e diede un'interpretazione ai risultati negativi; s'interrogò pure sul rapporto 0/0, senza particolare fortuna, visto che gli attribuì il valore 0 ("zero diviso zero è niente"); lasciò infine aperto il problema di stabilire il significato di 1/0, forse perché intuì che la scrittura imponeva un cambio radicale di notazione e di linguaggio.

Lo seguirono Sridhara e Mahavira - dall'850 in poi - che precisarono le proprietà formali dello zero e lo resero un numero in piena regola, non più lo zero dei babilonesi o dei greci - messo lì come mero segnaposto - ma uno zero che può stare anche solo, a indicare una quantità nulla, lo zero come numero, all'interno di un sistema calcolo: un numero resta invariato se gli si somma o gli si sottrae lo zero, e diventa zero se lo si moltiplica per zero; la questione della divisione per zero trova una prima presa di posizione (errata): "un numero non cambia quando è diviso per zero". Prende forma - al netto di alcune sbavature - la consapevolezza della specificità dello zero, del suo comportamento singolare (non modifica nessun altro numero, né sommandolo né sottraendolo, e si rifiuta di aumentare: 0+0+…+0=0).

Cinque secoli dopo, intorno al 1150, Bhāskara II - noto anche come Bhaskaracharya - poté riassumere con apprezzabile economia tutto il lavoro dei suoi predecessori, nel monumentale "Siddhānta Śiromani" ("La Corona dei Trattati", quattro opere per un totale di 1450 versi) in particolare nella trattazione aritmetica ("Līlāvatī") e algebrica ("Bijaganita") in cui lo zero conquista un proprio status, non solo un utensile chiarificatore, ma soprattutto un formidabile acceleratore nella manipolazione dei numeri, capace di oggettivare il calcolo nella sua pura forma.

"Nell'addizione dello zero, o nella sua sottrazione, la quantità, positiva o negativa, resta la stessa. Ma sottratta a zero, è invertita", un'affermazione che palesa una notevole familiarità con i numeri negativi.

E s'intravede per la prima volta il concetto di infinito nella (impropria) divisione di un numero per zero, con un'inevitabile deriva metafisica. "Questa frazione" - del tipo a/0 - "è chiamata quantità infinita" e in essa "non c'è alterazione, indipendentemente da quanto le si toglie o aggiunge perché nessuna cosa può alterare l'infinito e immutabile Iddio".

La divisione per zero è un'operazione impossibile, senza discussioni.

Quando si dice che un numero diviso zero dà come risultato l'infinito,

si sta violando il linguaggio formale e abusando della notazione matematica.

Una scrittura del tipo 1/0=∞ è un no-sense, perché ∞ non è un numero.

Può essere vista, nella più benevola delle interpretazioni, come la scrittura abbreviata

di ciò che andrebbe scritto correttamente nella forma lim(1/n)=∞ per n→0, che si legge così:

il rapporto 1/n tende a crescere indefinitamente, e supera qualsiasi soglia prefissata,

pur di scegliere un valore sufficientemente piccolo per la variabile n.

Ma in nessun caso si può dire che un numero si può dividere per zero,

perché la presunta divisione per zero condurrebbe a degli assurdi.

1) Prendiamo due numeri "a" e "b" uguali: a=b.

2) Moltiplichiamoli entrambi per "a": a²=ab.

3) Sottraiamo da entrambi i membri "b²": a²-b²=ab-b².

4) Richiamiamo la regola "a²-b²=(a+b)(a-b)"

e mettiamo "b" in evidenza al secondo membro: (a+b)(a-b)=b(a-b).

5) Dividiamo entrambi i membri per "(a-b)": (a+b)=b.

6) Poiché "a" e "b" sono uguali abbiamo "a+b=b+b=2b": 2b=b.

7) E se dividiamo entrambi i membri per "b" arriviamo al finale assurdo: 2=1.

Ci deve essere evidentemente un errore, in questa sequenza di passaggi formali.

E l'errore sta precisamente al passo 5, quando si divide per (a-b),

perché a=b e quindi (a-b)=0 e perciò stiamo impunemente dividendo per 0,

un errore che dà l'imbarazzante segno di sé nell'assurda conclusione 2=1.

Quanto fa zero elevato a zero?

La questione è spinosa.

Molti di noi, in qualche cassettino della memoria,

conservano il ricordo che 0⁰ è una forma indeterminata,

non le si può cioè attribuire un valore preciso, neppure per convenzione.

Ma da cosa nasce esattamente l'indeterminatezza?

Sappiamo che zero elevato a un qualsiasi numero positivo rimane zero:
0^1/2=0; 0¹=0; 0^3/2=0; 0³=0; 0^π=0; 0⁴=0,0^4,25=0; ... 0ⁿ=0 per ogni n>0.

Sappiamo pure, però, che qualunque numero (diverso da zero) elevato a zero da uno:
-2⁰=1; 1⁰=0; (√2)⁰=1; 3⁰=1; π⁰=1; 4,5⁰=1; ... n⁰=1 per ogni n≠0.

Abbiamo quindi due regole certe: 0ⁿ=0 (per n>0) e n⁰=1 (per n≠0).

Cosa succede, ora, se fissiamo n=0? Quale delle due regole prevale?

Quella che azzera ogni esponenziale con base zero

o quella che rende unitario ogni esponenziale con esponente zero?

Come si fa ad accordare una preferenza a una delle due?

Non si può, nel senso che qualsiasi scelta si compia, 0⁰=0 oppure 0⁰=1,

si finirà col violare in un modo o nell'altro una della proprietà delle potenze.

Immaginiamo ad esempio di stabilire la convenzione 0⁰=1.

Allora possiamo anche scrivere la sequenza di uguaglianze 1=0⁰=0^1-1=0¹0^-1.

Per le proprietà delle potenze si ha a^-1=(1/a), quindi per a=0 si avrebbe 0^-1=(1/0),

ma la divisione per zero è un'operazione impossibile, priva di significato,

e quindi, se proprio si vuol porre 0⁰=1, si è poi costretti a dire che la proprietà a^-1=(1/a)

vale per tutti i numeri reali con l'eccezione dello zero, una formulazione decisamente poco elegante.

Questo fatto conduce all'affermazione - ricorrente nella stragrande maggioranza dei testi -

che la forma 0⁰ deve considerarsi indeterminata, nel senso che non è possibile attribuirle un valore

e preservare al tempo stesso tutte le regole di calcolo delle potenze.

La civiltà islamica soppiantò l'indiana nella prima metà del VIII secolo, e s'impossessò anche del sistema di numerazione, al punto che ancor oggi si parla spesso di numeri arabi per riferirsi alla notazione indiana.

Il sistema indo-arabo sbarca in occidente nel 1202, con il "Liber Abaci" di Leonardo Fibonacci, un'antologia di aritmetica in quindici capitoli, dalla struttura originale e innovativa, scritta dopo un lungo periodo di studio e riflessione.

Il primo capitolo s'intitola - emblematicamente - "Le nove cifre indiane; come si calcoli per mezzo di esse. Quali numeri ed in qual modo si possono rappresentare con le mani. Introduzione all'abaco".

Le cifre indiane andavano da 1 a 9, ma subito dopo Fibonacci aggiungeva la qualifica fondamentale: "pertanto con queste nove figure, e con questo segno 0, che gli arabi chiamano zephiro, sarà scritto qualunque numero".

Il lungo cammino dello zero nel tempo e nello spazio,

ricostruito attraverso i luoghi, le opere e i loro autori:

1. Bhinmal, anno 628: "Brahmasphuta Siddhānta", dell'indiano Brahmagupta.

2. Sind, attuale Pakistan, anno 771: ambasciata a Bagdad.

3. Bagdad, prima metà del IX secolo: "Trattato sul calcolo indiano", dell'arabo al-Khwārizmī.

4. Tours, prima del 1143: "Liber ysagogarum Alchorismi", attribuito a Adelardo di Bath.

5. Tolendo, verso l'anno 1143: "Liber Alchorismi", attribuito a Giovanni di Siviglia.

6. Béjaia, Alegeria, XII secolo: porto dove è impiegato il padre di Leonardo Fibonacci.

7. Pisa, anno 1202: "Liber abaci", di Leonardo Fibonacci.

Già, il nome di battesimo: zero.

I matematici indiani erano inclini a collegare la matematica alla poesia. Troviamo numeri espressi a parole - per evocare le quantità corrispondenti - nel poema "Agni Purana", scritto intorno al 300 d.C.: 1 poteva essere "luna", perché c'è una sola luna; per il 2 si poteva usare "braccia" o "occhi" oppure "ali"; per il 5 invece "frecce", ché il dio dell'amore, Kama, aveva cinque frecce nella sua faretra. E lo 0? Come si poteva evocare il nulla?

Sia nei testi vedici che nella filosofia buddista, la parola sunya era usata per comunicare l'idea di vuoto - di vacuità, di nulla - e probabilmente i matematici ne appropriarono per indicare lo zero; sunya diventerà sifr in arabo, e in occidente si trasformerà per assonanza in zephirum; da qui darà origine a due parole diverse, cifra e zero, al principio sinonimi, e solo in seguito differenziate - a partire dal XV secolo - con un'estensione lessicale per cifra e un significato esclusivo per zero.

Tutto origina quindi da sunya, e sebbene non vi siano evidenze filologiche a favore di una matematica che abbia consapevolmente mutuato la semantica filosofica-religiosa, o anche solo di una interrelazione tra i due ambiti, la coincidenza nominale rimane e crea suggestioni profonde sul senso della vita, su uno zero che sembra nulla e invece è tutto.

E subito dopo lo zero, troviamo l'uno, il numero 1.

Dal romanzo "Il teorema del pappagallo", di Denis Guedj.

Nel "Paradiso" - canto XV, 55-57 - Dante immagina delle anime capaci di leggergli nel pensiero tramite Dio, e ricorre a una similitudine con la generazione dei numeri naturali a partire dall'unità.

Tu credi che a me tuo pensier mei
da quel ch'è primo, cosi come raia
da l'un, se si conosce, il cinque e'l sei.

La parafrasi - alla buona - suona così: tu credi che il tuo pensiero si trasmetta a me tramite Colui che è primo, così come dalla conoscenza dell'unità derivano gli altri numeri (il cinque e il sei).

L'intuizione di Dante presume il "se si conosce", perché solo se conosci l'unità puoi conoscere (creare) tutti gli altri numeri.

E cos'è l'unità? Cosa rappresenta il numero 1?

Una prima caratterizzazione la si rintraccia nel libro VII degli "Elementi" di Euclide - anno 300 a.C. circa - dedicato alla teoria elementare dei numeri. La Definizione 1 recita: "Unità è ciò in virtù del quale ognuno degli enti è detto uno"; e la Definizione 2 precisa il rapporto tra l'unità e tutto il resto: "Numero è una molteplicità composta di unità".

L'aver usato due definizioni - una per l'unità, l'altra per i numeri - è rivelatrice della percezione di Euclide: l'unità non appartiene ai numeri, li crea per iterazione, ma non ne fa parte.

La visione geometrica giustifica il punto vista: Euclide rappresentava i numeri con segmenti, e si può conoscere la lunghezza di un segmento solo rispetto a un altro segmento, usato come metro di confronto, come unità di misura, per cui la scelta di un segmento di lunghezza convenzionalmente unitaria - da cui ricavare le misure di tutti gli altri - aveva solo la funzione di fissare lo standard per la misurazione.

Le prime due Definizioni nel libro VII degli "Elementi di Euclide",

in lingua originale (il greco) con accanto la traduzione inglese.

Gli "Elementi" sono un monumento della matematica - "tutto ciò che doveva sapere un matematico greco che cominciasse la sua carriera nell’anno 300 avanti Cristo", scrive Denis Guedj - e ancora negli anni '50 del secolo scorso Albert Einstein li portava a esempio d'eccellenza di ragionamento matematico. "Noi onoriamo l'antica Grecia come la culla della civiltà occidentale. Là, per la prima volta, è stato creato un sistema logico, meraviglia del pensiero, i cui enunciati si deducono così chiaramente dagli altri che ciascuna delle proposizioni dimostrate non solleva il minimo dubbio: si tratta della geometria di Euclide. Quest'opera ammirevole della ragione ha dato al cervello umano la più grande fiducia nei suoi sforzi ulteriori. Colui che nella sua prima giovinezza non ha provato entusiasmo davanti a quest'opera non è nato per fare lo scienziato teorico".

Non meraviglia, quindi, se le definizioni di Euclide - su unità e numero - siano state il leitmotiv per svariati secoli.

"La monade" - l'1 - "non è un numero", sosteneva Nicomaco di Gerasa, intorno all'anno 100.

"L'unità è il seme di tutti i numeri ma non è un numero", ribadiva Isidoro di Siviglia, nel 600.

Ancora nel 1478, ne "Larte de labbacho", il primo libro di matematica a stampa pubblicato al mondo, si legge che "l'unità è quella cosa dalla quale ogni cosa è detta una" e "il numero è una moltitudine congregata ovvero insembrada [mescolata?] da molte unità e almeno da due unità, come il 2, che è il primo e più piccolo numero che si trova".

Servirà arrivare al 1585, al libretto "De Thiende" di Simon Stevin, per veder accolto l'uno (con lo zero) tra i numeri: "Def. 1. L'Aritmetica è la scienza dei numeri. Def. 2. Numero è ciò che esprime la quantità di ciascuna cosa. Def. 3. I segni con cui si rappresentano i numeri sono 10 e cioè, 0 che è l'inizio dei numeri, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9".

Il numero 1 conosce il suo momento di gloria con Giuseppe Peano, un talentuoso matematico italiano del XX secolo, con una spiccata sensibilità in fatto di linguaggio e notazione.

Nel 1889 pubblicò l'opuscolo "Arithmetices principia, nova methodo exposita", dedicato ai postulati dell'aritmetica, da allora associati al suo nome.

Peano ipotizzava l'esistenza di un insieme N i cui elementi erano i "numeri", con proprietà da dedurre interamente da un sistema di postulati. Nella versione originale i postulati erano nove, poi furono semplificati e consolidati in quattro, e i primi tre si possono formulare così:

(1) a ogni numero n di N si può associare un altro numero di N, che si chiama successore di n e si indica con nʹ;

(2) due numeri diversi hanno successori diversi: se n ≠ m, allora nʹ ≠ mʹ;

(3) esiste uno e un solo numero di N con la proprietà di non essere il successore di alcun numero di N: è l'1;

col postulato (3) che consegna al numero 1 un ruolo speciale, unico.

Quando a inizio '900 Alfred Whitehead e Bertrand Russell vollero dare una forma massimamente rigorosa all'aritmetica elementare, nei loro "Principia Mathematica", si ritrovarono alle prese con lunghi passaggi formali anche per esprimere enunciati ovvi al senso comune. Poincaré chiosò ironicamente: "se servono 27 passaggi per dimostrare che 1 è un numero, quanti ne servono per dimostrare un qualsiasi risultato interessante?".

Una volta sdoganato l'1 tra i numeri - negata ogni presunta specificità che ne giustificasse l'isolamento - la questione si sposta sul suo diritto di cittadinanza tra i numeri primi.

Un numero primo è un numero naturale divisibile solo per sé stesso e per l'unità, o almeno così recita la definizione scolastica. Il numero 1 è sicuramente divisibile per sé stesso e per l'unità - e questa seconda precisazione diventa anzi ridondante - per cui verrebbe da pensare che, sì, 1 è un numero primo.

Sicuramente lo pensava Christian Goldbach, un matematico tedesco che si divertiva a scovare relazioni tra i numeri naturali e i numeri primi. In una lettera a Eulero, del 1742, mostra le possibili scomposizioni additive di 4, 5, e 6 in numeri primi: il numero 1, con tutta evidenza, è primo.

Ancora a inizio '900 Kronecker annoverava l'1 tra i primi, così come Hardy nella prima edizione del suo "A Course of Pure Mathematics".

La dimostrazione (per assurdo) dell'infinità dei numeri primi iniziava così: "Ipotizziamo che esista soltanto un numero finito di primi, e siano 1, 2, 3, 5, 7, 11, ..., N. Consideriamo allora il numero 1 + (1·2·3·5·7·11·...·N)".

Ma trent'anni dopo cambia idea, e nell'edizione aggiornata la riformula così: "Siano 2, 3, 5, 7, 11, ..., p_N tutti i numeri primi fino a p_N. Sia P=(2·3·5·7·11·...·p_N)+1".

Oggi l'1 viene escluso dai numeri primi, perché ammetterlo significherebbe perdere l'unicità della fattorizzazione del teorema fondamentale dell'aritmetica, e peraltro non serve alcuno sforzo per giustificare l'esclusione: basta guadagnare in precisione nel definire i numeri primi e qualificarli come tutti e soli quei numeri che ammettono esattamente due divisori distinti, l'1 e sé stessi, cosicché 1 non è primo perché ha un solo un divisore.

Ma proprio questa esclusione - fosse pure dai numeri primi, il club più esclusivo dei numeri naturali - ne rievoca le sue caratteristiche peculiari, risveglia la convinzione che sia un numero speciale, che fa storia a sé, il numero in cui ricadono tutti gli altri, che li abbraccia tutti, come suggerisce la strabiliante congettura di Collatz.

"La congettura di Collatz è un problema incredibilmente semplice da enunciare,

e allo stesso tempo incredibilmente difficile da risolvere.

Tutto nasce nel 1937, quando il matematico tedesco Lothar Collatz nota un piccolo gioco:

prendi un numero, se è pari lo dividi per due; se è dispari, moltiplicalo per tre e aggiungi uno,

e poi ripeti l'operazione sul risultato che hai ottenuto.

Sembra una regoletta infantile, eppure fa emerge un mistero profondo.

Qualunque numero si scelga, la sequenza finisce nello stesso ciclo: quattro, due, uno.

Matematici professionisti e appassionati inseguito a lungo una dimostrazione che sfugge di mano.

Ogni tentativo rivela una nuova complessità nascosta sotto la superficie.

Con i computer si è verificata la congettura per tutti i numeri fino a dieci miliardi di miliardi;

ma nessuna verifica numerica potrà mai essere una prova definitiva.

Nel tentativo di capire come funziona davvero questa dinamica semplice e caotica

sono nati studi che attraversano la teoria dei numeri, i sistemi dinamici e i modelli visivi tridimensionali. Ogni avanzamento illumina un frammento del problema, ma il quadro completo rimane nell'ombra.

E come spesso accade, la matematica più profonda nasce proprio dove non te l'aspetti:

da un gioco di numeri, da una regola di tre righe, da un enigma che si rifiuta di essere domato.

Forse un giorno avremo gli strumenti per capire perché tutti i numeri

sembrano ricadere inevitabilmente nell'abbraccio dell'1".

(Dal Canale Youtube "YouSciences", di Giux)

"La congettura di Collatz è un problema incredibilmente semplice da enunciare,

e allo stesso tempo incredibilmente difficile da risolvere" - ci dice Giux -

e subito avvertiamo riecheggiare l'Ultimo Teorema di Fermat.

"Alcuni numeri scendono subito" - aggiunge - "altri, come il celebre 27,

esplodono verso valori enormi prima di precipitare in quel vortice finale",

e qui se ne può vedere la sua bizzarra traiettoria,

che oscilla, va su e giù, sale e scende, sperimenta picchi e valli,

per poi precipitare - fatalmente - nell'abbraccio dell'1.

Tutti i numeri, dopo tanto isterico girovagare, ricadono inevitabilmente nell'abbraccio dell'1.
"La matematica non è ancora pronta per problemi di questo tipo" - ha dovuto ammettere Paul Erdös.

Lo zero e l'uno - oggi - sono sicuramente due numeri, senza incertezze.

La storia, però, gli consegna un fascino particolare, ci racconta di numeri sui generis, con caratteristiche e proprietà particolari, da maneggiare con più d'una attenzione.

E non è solo un fatto storico a renderli speciali, ma anche - e anzi soprattutto - l'attualità.

Con lo 0 e l'1 - volendo - si può costruire un intero sistema di numerazione, il sistema binario, in cui Leibnitz vide l'immagine della creazione - l'unità rappresentava Dio, lo zero il vuoto e l'Ente Supremo aveva tratto tutti gli esseri dal vuoto, proprio come con l'unità e lo zero si possono rappresentare tutti i numeri (0="0", 1="1", 2= "10", 3="11", 4="100", ...) - e più prosaicamente è l'unico accessibile a un computer tradizionale, in grado di captare solo due segnali - "accesso"=1, "spento"=0 - e senza lo zero e l'uno il mondo sarebbe allora spettacolarmente diverso da come lo conosciamo (se pensiamo al ruolo dominante della tecnologia nella nostra vita).

Più in generale lo 0 e l'1 ritornano sistematicamente come "quantificatori" di fenomeni qualitativi bidimensionali: le coppie vero-falso, sì-no, presente-assente - e altre simili - ammettono tutte la codificazione numerica 0-1, e diventano perciò suscettibili di essere processate con metodi quantitativi.

Last but non least - e se vogliamo prima di tutto - i numeri 0 e 1 hanno la proprietà di lasciare inalterate le operazioni rispettivamente di somma e prodotto in cui intervengono, sono cioè gli elementi neutri dell'addizione e della moltiplicazione - le operazioni matematiche di base - e possiamo perciò attribuirgli il ruolo di ambasciatori dell'Aritmetica.

i: l'amico immaginario

Il primo incontro-scontro con i numeri immaginari - con tentativo di schivarli - avviene già nella scuola superiore, quando nel risolvere l'equazione algebrica di secondo grado ax²+bx+c=0, si realizza la possibilità di ritrovarsi con un discriminante Δ=b²-4ac negativo: se Δ<0 è un gran casino, perché nella formula risolutiva il Δ compare sotto radice quadrata, e quale mai sarebbe il numero che elevato al quadrato restituisce un numero negativo, se la regola dei segni ("meno"×"meno"="più") ci dice che un quadrato è sempre positivo?

A scuola, tipicamente, la casistica Δ<0 è saltata a piè pari (proponendo solo esercizi in cui non si presenta, e sì che basterebbe l'equazione x²+5x+6=0, per veder sbucar fuori la radice quadrata di -1) o al più è archiviata con la formula "l'equazione non ammette soluzioni" (a volte corredata dalla clausola di salvaguardia "nel campo reale", così da far intravedere l'esistenza di altri "luoghi" dove la soluzione potrebbe esistere).

Senonché, dopo aver a lungo inibito gli studenti a estrarre radici quadrate di numeri negativi, gli si chiede poi all'improvviso - inevitabilmente, nel percorso formativo - di accogliere un oggetto nuovo nel proprio mondo: l'inquietante numero immaginario i.

L'iniziazione ai nuovi numeri ha spesso un'intonazione grottesca.

Dall'articolo "Contro la matematica per deficienti", di Bruno de Finetti.

E invece è proprio in questa forma umoristica che i nuovi numeri prendono corpo - basta "definire" (sic!) il numero i come la radice quadrata di -1, scrivere quindi i²=-1 e siamo a posto - lasciando i più comprensibilmente interdetti, perché se la radice quadrata di -1 priva di significato, non si vede come possa magicamente acquisirne uno per il sol fatto di averla camuffato sotto il simbolo i.

Nelle discussioni tra ragazzi - tra chi vuol capire il senso della radice quadrata di un numero negativo - riecheggia un celebre passo di Robert Musil, dal romanzo "I turbamenti del giovane Törless", una storia ambientata in un collegio militare e centrata sui travagli del protagonista - sessuali, morali, intellettuali - che coinvolgono anche il rapporto con l'apprendimento.

Il passo di Musil - il fatto che "all'inizio hai dei numeri solidissimi", ma poi li maneggi con "qualcosa che non c'è", per "raggiungere alla fine un risultato concreto" - riporta agli albori dei numeri immaginari, alla "Ars Magna" di Gerolamo Cardano del 1545, in cui si proponeva un problema apparentemente insolubile:

Dividi 10 in due parti che moltiplicate tra loro diano 40

che si può riformulare così:

Trovare due numeri x e y, tali che x+y=10 e xy=40

oppure:

Risolvere l'equazione di secondo grado x²-10x-40=0

L'assenza di soluzioni (reali) è già chiara nell'aspetto algebrico: se si fissano arbitrariamente x=5 e y=5 si ha x+y=10 e xy=25, e qualsiasi spostamento da questa posizione iniziale, sotto il vincolo x+y=10, determina prodotti più piccoli (con x=6 e y=4 si ha x+y=10 e xy=24; con x=2 e y=8 e si ha x+y=10 e xy=16; e continuate pure da soli, se volete, ma non troverete mai un prodotto maggiore di 25).

La geometria visualizza il tutto: immaginate un segmento ab di lunghezza 10; il problema richiede di individuare un punto c interno al segmento ab che lo divida in due parti di lunghezza x e y, in modo che il rettangolo di base x e altezza y abbia area pari a 40; comunque si sposti il punto c - a destra o a sinistra, sul segmento ab di lunghezza 10 - non c'è verso di far uscire il rettangolo desiderato.

Cardano però non si perse d'animo e gettò il cuore oltre l'ostacolo, o meglio, saltò direttamente alla fine, e dalla fine risalì all'inizio.

Dati i valori iniziali x=5 e y=5 - la migliore approssimazione possibile della soluzione, se così vogliamo dire - finse di aver trovato un punto r di separazione del segmento ab per cui erano soddisfatte le due condizioni:

(5-r)+(5+r)=10

(5-r)×(5-r)=40

e poi risalì a r dal prodotto (5-r)×(5-r)=40.

Moltiplica, somma e sottrai, venne fuori 25-r²=40 che significava r²=-15.

Cardano introdusse allora la quantità √−15 - ideo immaginaberis - che risolveva formalmente il problema:

(5-√−15)+(5+√−15)=10

(5-√−15)×(5-√−15) = 5²+(√−15)²=25+15=40

Si era così partiti da "numeri solidissimi" (il 5, il 10 e il 40) e si era arrivati a un "risultato concreto" (10 e 40) transitando però per "qualcosa che non c'è" (√−15).

Restava appunto da capire - pare niente - cosa fosse l'ideo immaginaberis.

Cardano non riuscì a trovargli un significato, perché i calcoli erano sì formalmente ammissibili, ma sprovvisti del contraltare visivo, tangibile: l'immaginifico rettangolo di area 40 non esisteva, non era visualizzabile, non lo si poteva disegnare; e se pure il prodotto xy non si fosse interpretato come un'area, ma come la lunghezza di un segmento (pari a un multiplo y di un'assegnata unità di misura x, o viceversa) compariva comunque quella √−15 impossibile da collocare sulla linea dei numeri reali.

La malefica √−15 sembrava risiedere in una dimensione intermedia tra la retta e il piano. Cardano era sulla porta della dimensione frattale, ma non osò oltrepassarla e commentò sconsolato le speculazioni a cui pure si era abbandonato, convinto che svilupparle ulteriormente sarebbe stato solo uno sterile rimpasto di meri simboli. "Così progredisce la sottigliezza aritmetica il cui fine, come si dice, è tanto raffinato quanto inutile".

Ma i numeri immaginari non sono né più né meno concreti di altri numeri, e se remore e timori erano più che giustificabili al momento della loro comparsa, vista la novità, sembra ben strano che le stesse perplessità continuino a sopravvivere ancora oggi, a causa di un approccio didattico anacronistico che si trascina dietro - colpevolmente - oscurità e incomprensioni.

Una tremenda freddura matematica:

la mia ragazza è la radice quadrata di -100.

La radice di -100 si può fattorizzare nelle radici di 100 e -1;

la radice di 100 è 10 e la radice di -1 è il numero immaginario;

quindi la mia ragazza è perfetta (vale 10 su 10),

peccato solo che non esista, se non nella mia immaginazione.

Il pubblico rimane comprensibilmente perplesso,

e a poco vale, per il comico in difficoltà, accennare a una relazione complessa.

Capire la più bella formula di tutta la matematica imporrà di demistificare i numeri immaginari, di rimuovere quell'assurda sovrastruttura metafisica che ancor oggi gli si monta sopra, ma per ora limitiamoci a registrare un fatto semplice: il numero i sbuca fuori naturalmente già nel più classico problema scolastico di algebra - la risoluzione di un'equazione di secondo grado - e gli si può quindi attribuire il ruolo di ambasciatore dell'Algebra.

Sua Maestà π

Ma sul serio devo presentarvi π? Davvero? E vabbè...

Disegnate una circonferenza di diametro unitario, poi tagliatela e distendetela, per formare un segmento: la sua misura è π.

Oppure prendete una ruota di diametro unitario e dipingetela - in modo che lasci un segno per terra quando si muove - e poi fatele compiere un giro completo: la linea che avete davanti misura π.

Più in generale - secondo la definizione classica - π è la lunghezza c di una circonferenza quando si usa il diametro d come unità di misura: π=c/d; ed è un numero irrazionale, di quelli che non si possono esprimere come rapporto tra due numeri interi, un numero con infinite cifre dopo la virgola che si susseguono senza regolarità, quindi inconoscibile nella sua interezza.

"Dovresti sapere che il rapporto della circonferenza con il suo diametro

non è conosciuto e non sarà mai possibile esprimerlo con precisione"

- scriveva il filosofo, medico e giurista ebreo Maimonide, vissuto tra il XI e XII secolo -

"Ciò non è dovuto a qualche carenza di conoscenza da parte nostra, come ritiene l'ignorante.

Piuttosto, tale questione è ignota per sua stessa natura, e mai si arriverà a scoprirla".

Molti matematici vedono in π "il più glorioso, il più grande" tra i numeri, per mutuare le parole di Agamennone su Zeus, nella "Illiade"; π affascina l'umanità da tempo immemorabile (se ne parla già nella Bibbia, nel presentare la costruzione della reggia di Salomone); ha trovato diffusione nella cultura di massa e nell'immaginario popolare (citato, a proposito o a sproposito, in libri, film, telefilm e cartoni animati); e gli è stato persino dedicato un giorno dell'anno, il 14 marzo (3.14 secondo la maniera americana di indicare le date).

Nella Bibbia, nel Libro dei Re, si danno le misure di una delle costruzioni della reggia di Salomone:

si dice che aveva una forma circolare, con un diametro di 10 cubiti e una circonferenza di 30.

Ne verrebbe apparentemente fuori una stima di π piuttosto grossolana, pari a 3.

L'errore, nella lettura del passo, sta nel non distinguere tra le circonferenze interna ed esterna.
Esaminiamo la situazione in cui il diametro esterno è 10 cubiti e la circonferenza interna è 30 cubiti,

e per capire meglio i calcoli riportiamoci alle nostre usuali unità di misura (1 cubito=45,72 cm)

per cui il rapporto 30/10 cubiti equivale quindi a (30×45,72)/(10×45,72) cm.

Così, però, si rapportano due grandezze disomogenee, la circonferenza esterna al diametro interno.

Dobbiamo perciò prima di tutto ricondurci a grandezze confrontabili,

e questo fine serve conoscere lo spessore della costruzione.

Ce lo comunica il versetto immediatamente successivo (7:26):

"Ed esso avea lo spessore d'un palmo; il suo orlo, fatto come l'orlo d'una coppa,

avea la forma d'un fior di giglio; il mare conteneva 2000 bati".

Un palmo è la larghezza di quattro dita (Es.25:25): 1 palmo=10,29 cm.

Quindi il calcolo esatto del rapporto tra la circonferenza e il diametro è:

(30×45,72)/(10×45,72–2×10,29)=

=1371,6/436,62=3,1414044.

Abbiamo così un'approssimazione di π sino al terzo decimale.

Suggestiva ed emozionante è la prosa di Umberto Eco su π:

"La sfera, mobile all'estremità di un lungo filo fissato alla volta del coro,

descriveva le sue ampie oscillazioni con isocrona maestà.

Io sapevo - ma chiunque avrebbe dovuto avvertire nell’incanto di quel placido respiro -

che il periodo era regolato dal rapporto tra la radice quadrata della lunghezza del filo

e quel numero π che, irrazionale alle menti sublunari,

per divina ragione lega necessariamente la circonferenza al diametro di tutti i cerchi possibili,

così che il tempo di quel vagare di una sfera dall'uno all’altro polo,

era effetto di una arcana cospirazione tra le più intemporali delle misure,

l'unità del punto di sospensione, la dualità di una astratta dimensione,

la natura ternaria di π, il tetragono segreto della radice, la perfezione del cerchio".

Il film "Vita di Pi" racconta la storia di un ragazzo indiano, Piscine Molitor Patel,

deriso dai compagni per via del suo nome, lo stesso di una piscina di Parigi.

Ben presto, però, il ragazzo decide di abbreviarlo semplicemente in "Pi",

a cui dà un significato profondo, imparando a memoria migliaia di cifre di π,

che trascrive alla lavagna davanti agli sguardi allibiti della classe.

"Pi greco, il rapporto tra la circonferenza e il diametro di un cerchio e questo è solo l'inizio.

Potrebbe proseguire all'infinito, ma senza mai una sola ripetizione;

e questo significa che all'interno di questa serie di decimali è contenuto ogni altro singolo numero.

La vostra data di nascita, la combinazione del vostro armadietto,

il numero di previdenza sociale, sono tutti qui, da qualche parte;

e se convertiste questa serie di numeri in lettere,

otterreste ogni parola che sia stata concepita in ogni possibile combinazione.

Le prime sillabe che avete pronunciato da bambini, il nome della persona per cui avete una cotta,

la storia della vostra vita, dall'inizio alla fine.

Tutto quello che diciamo, pensiamo o facciamo, tutte le infinite possibilità del mondo,

si trovano all'interno di questo semplice cerchio;

che ci farete con questa informazione o a cosa vi servirà, beh, spetta a voi deciderlo".

Il monologo del professore nella serie tv "Person of Interest" (stagione 2, episodio 11)

- sebbene emotivamente coinvolgente - è una divulgazione errata delle proprietà del numero π.

La suggestione che nello sviluppo decimale di π ci sia il mondo intero

allude alla sua presunta proprietà di essere un numero cosiddetto "normale".

I numeri "normali" sono caratterizzati dal fatto di presentare nel loro sviluppo decimale

tutte le singole cifre con frequenza 1/10, tutte le coppie di cifre con frequenza 1/100,

tutte le terne con frequenza 1/1000, e in generale tutte le n-ple con frequenza 1/10ⁿ,

e l'uniforme probabilità di qualunque blocco di cifre, all'interno di una sequenza illimitata,

fa si che prima o poi si ritrovi qualunque cosa al suo interno.

Senonché vi sono due fatti che smontano tutta la poesia:

da un lato nessuno ha sinora dimostrato la "normalità" di π,

dall'altro i numeri "normali" sono tantissimi

e i numeri "non normali" un insieme trascurabile,

e quindi, se pure π fosse normale, cosa che peraltro ancora non sappiamo,

non esibirebbe in questo senso una proprietà speciale o caratterizzante.

Un altro esempio di cattiva divulgazione:

il numero π NON E' uguale a 3,14.

Se fosse uguale a 3,14, o se in generale lo si potesse scrivere allineando cifre,

che bisogno ci sarebbe di esprimerlo con una lettera, anziché nel modo usale?

Perché mai chiamarlo π se possiamo chiamarlo 3,14?

Il numero π non è 3,14, ma neppure 3,141592653589793238462643383279,

e non è neanche 3 seguito dalle 62.800 miliardi di cifre decimali sinora calcolate.

Abbiamo voglia ad aggiungere cifre su cifre dopo la virgola,

ma saranno sempre un insieme trascurabile, se paragonate all'infinità.

Usiamo la lettera π proprio perché questo numero non si può esprimere con una sequenza di cifre,

perché le cifre dopo la virgola non solo sono infinite, ma non mostrano neppure una regolarità

che possa essere catturata nella sua interezza con un simbolismo minimale

(come avverrebbe, a esempio, per 3,14141414... che possiamo indicare come 3,14 periodico).

E' vero, invece, che π si può approssimare bene quanto si vuole tramite rapporti di numeri interi:

è cioè sempre possibile - se non altro sul piano teorico - trovare due numeri interi, p e q,

tali che il rapporto p/q riproduca le prime n cifre decimali di π, con n scelto grande a piacere.

Ma per quanto p/q possa approssimare bene π, rimarrà sempre e soltanto un'approssimazione,

perché la caratteristica di π è proprio nel non poter essere espresso come rapporto tra numeri interi.

Quando si parla di π ci si aspetta sempre di vedere dei cerchi, o comunque figure geometriche variamente collegate ai cerchi, come sfere e cilindri: una mente matematica, non appena vede π un in una formula, presume che dietro vi si nasconda qualcosa di circolare, o che esista un qualche collegamento implicito con fenomeni periodici.

Un doodle di Google dedicato a π.

Ma π ha conquistato anche regioni lontane dalla geometria del cerchio, e se vogliamo evitare i cliché, se desideriamo oltrepassare la sua presentazione mainstream, possiamo introdurlo in società anche attraverso i quadrati.

Una delle meraviglie della matematica è poter domare l'infinito, realizzare un'infinità di operazioni con una sequenza finita di passaggi.

Immaginiamo ad esempio di voler sommare tutti i numeri naturali:

1+2+3+4+ ... +n+ ...

Si può dimostrare che il risultato è infinito, o a volersi esprimere con rigore, che la somma tende a crescere illimitatamente, a superare qualsiasi soglia finita si decida di fissare, per quanto elevata, pur di prendere sufficienti addendi: per quanto grande possa essere il numero M che sceglierete, e per quanto vorrete aumentarlo ancora, sarà sempre possibile riunire un numero finito di termini della serie tali che la loro somma superi M.

Bella forza, direte voi: stiamo sommando infiniti termini positivi, perciò è ovvio che la somma vada all'infinito (che tenda a crescere indefinitamente).

La questione è in realtà più sottile. La somma scappa verso l'infinito non tanto perché stiamo sommando infiniti termini positivi, ma perché i termini sono crescenti: sommiamo numeri via via più grandi, e quindi, sì, è ovvio che le somme parziali tenderanno ad aumentare senza fine, via via che le estendiamo.

Ma cosa accade se sommiamo infiniti numeri via via più piccoli?

Prendiamo ad esempio la somma degli inversi, la cosiddetta serie armonica:

1+1/2+1/3+1/4+ ... +1/n+ ...

Il problema si fa qui più interessante: è vero che stiamo ancora sommando infiniti numeri positivi, ma ogni numero che aggiungiamo conta sempre meno, ogni addendo ha sempre meno importanza, e forse, chissà, alla fine la nostra somma potrebbe avere per risultato un numero preciso.

E invece no: anche la serie armonica scappa all'infinito! E' vero che il contributo di ogni addendo va a scemare, tende a zero, ma non lo fa abbastanza rapidamente, e così il cumularsi di infiniti addendi conduce anche in questo caso a una somma esplosiva, suscettibile di superare qualunque livello prefissato.

Lo possiamo vedere prendendo come metro di riferimento questa somma chiaramente infinita:

1+1/2+1/2+1/2+ ... +1/2+ ...

Qui il risultato è ovvio: stiamo sommando a 1 una serie infinita di termini costanti e positivi, pari a 1/2, quindi va da sé che la somma tende a crescere, che più si va avanti e più la somma aumenta, e quindi scappa anch'essa all'infinito, nel senso che prima o poi supererà qualunque soglia finita per quanto elevata (anche se procede più lentamente della somma 1+2+3+... +n+ ...).

E ora osservate: escludiamo l'1 e il primo 1/2 (comuni a entrambe le serie) e mettiamo a confronto ciò che rimane; i primi due termini della serie armonica sono maggiori del secondo 1/2 della serie di riferimento:

1/3+1/4>1/2

Allo stesso modo, se prendiamo gli altri quattro termini della serie armonica (1/5, 1/6, 1/7, 1/8) ci accorgiamo che la loro somma supera il terzo 1/2 della serie di riferimento:

1/5+1/6+1/7+1/8>1/2

S'intuisce la fine della storia: è sempre possibile staccare dalla serie armonica una sequenza di numeri (progressivamente più lunga) la cui somma ecceda un 1/2, e di queste sequenze ce ne sono infinite, pur di prenderle sufficientemente lunghe, cosicché dentro la serie armonica si annidano somme parziali che danno un contributo invariabilmente superiore a 1/2 (la sequenza successiva sarebbe formata da otto termini, 1/9, 1/10, 1/11, 1/12, 1/13, 1/14, 1/15, 1/16, la cui somma supera 1/2; la successiva sarebbe formata da sedici termini, poi da trentadue e così via).

Ma se dentro la serie armonica ci sono infinite sotto-sequenze che eccedono 1/2, e se la serie di riferimento fatta di soli 1/2 va verso l'infinito, allora anche la serie armonica andrà ad infinito (anche se più lentamente perché serve riunire sempre più termini per superare 1/2).

Mettiamo da parte i primi due termini della serie (1 e 1/2).

La somma del terzo e del quarto (1/3+1/4) è superiore a 2/4 =1/2, perché 1/3 è maggiore di 1/4.

Così come 1/5+1/6+1/7+1/8 è una somma maggiore di 4/8 =1/2,

perché i primi tre termini sono tutti maggiori di 1/8.

Raggruppando un numero di termini sempre doppio del precedente,

aggiungiamo alla nostra somma dei contributi maggiori di 1/2.

E chi ci può mai fermare?

Viaggiando verso l'infinito aggiungeremmo infiniti termini superiori a 1/2,

per cui la somma della nostra serie armonica andrà anch'essa all'infinito.

E' un infinito pigro, certo, ma pur sempre un infinito:

potete scegliere un numero M grande a piacere,

ma potete sempre trovare termini della serie a sufficienza per superarlo

(ci vogliono ad esempio 100.000 termini per arrivare a una somma di 12,09).

La serie quindi diverge, va all'infinito, anche se con lentezza esasperante.

Avere un valore infinito per la somma di un'infinità di addendi è un fatto di scarsa soddisfazione; ai matematici piace avere un numero finito per una somma infinita, e il trucco è nel far sì che il valore dei singoli addendi si riduca molto velocemente.

La serie armonica diverge? Va bene. E allora noi rimpiccioliremo ancora i suoi termini, elevandoli al quadrato.

1+(1/2)²+(1/3)²+(1/4)²+ ... +(1/n)²+ ...

Questa serie inizia bene (elevare al quadrato un numero inferiore a uno lo riduce notevolmente) e s'intuisce che stavolta la somma andrà incontro a un numero preciso, finito, ma proprio non si capisce quale sia.

Se vi mettete a eseguire i calcoli "a mano", se per dire sommate i primi 1.000 termini, ottenete 1,64393 (arrestandosi al quinto decimale) che, insomma, non è propriamente un bel vedere.

Pietro Mengoli fu il primo a tirar furori il problema della somma dei quadrati degli inversi, nel 1644, e da allora pare abbiano provato a venirne a capo Newton, Leibniz, e tutta la famiglia Bernoulli, senza successo.

Poi - nel 1735 - arriva la star svizzera Eulero, e con un metodo da applausi e invidia (per la comunità matematica del tempo) mostra il risultato spettacolare:

1+(1/2)²+(1/3)²+(1/4)²+ ... +(1/n)²+ ...=π²/6

Ecco a voi - signore e signori - il numero π come radice quadrata del sestuplo della somma infinita dei reciproci dei quadrati: tanti quadrati, anzi infiniti quadrati, e neanche un piccolissimo cerchio.

La Divina Commedia è ricca di evocazioni matematiche,

e una delle più famose si trova nel canto XXXIII del Paradiso.

Dante mostra il mistero della Trinità con l'immagine di tre cerchi di diverso colore:

il secondo (il Figlio) assume sembianze umane (l'incarnazione) e riflette il primo (il Padre),

e il terzo (lo Spirito Santo) spira da entrambi.

Dante rimane però incapace di esprimere l'esperienza della visione,

non capisce come l'immagine umana si possa accomodare al cerchio,

ed evoca un classico problema di geometria per trasmettere il senso di smarrimento.
"Come il geometra, il matematico, che si impegna intensamente per fare quadrare il cerchio,

ma non riesce a trovare, pur pensandoci a fondo, il principio su cui basare il proprio calcolo".

La "quadratura del cerchio" è un problema storico:

disegnare un quadrato con la stessa area di un cerchio assegnato,

utilizzando esclusivamente la riga e il compasso.

In termini numerici lo si può riformulare così:

assegnato un cerchio di diametro uguale a 1,

disegnare un quadrato di lato π,

col solo uso della riga e del compasso.

Il problema non ha soluzione - dato il vincolo sugli strumenti utilizzabili -

e la formula più bella della matematica, eⁱ^π+1=0, si rivela uno strumento per dimostrarlo,

col puro e semplice ragionamento sulla natura dei numeri che vi compaiono,

senza chiamare in causa né calcoli né figure geometriche.

Nel 1748 Eulero congettura l'esistenza di numeri trascendenti,

numeri irrazionali che non sono soluzioni di equazioni algebriche a coefficienti interi.

Nel 1837 Wanzel dimostra che i numeri possono essere "costruibili" o "non-costruibili":

se si può disegnare un segmento di lunghezza pari a un numero, usando solo riga e compasso,

allora quel numero è "costruibile", altrimenti si è alla presenza di numeri "non-costruibili".

Un numero irrazionale come la radice quadrata di 2 è "costruibile"

(basta disegnare un quadrato di lato 1 con lato inferiore sulla retta dei numeri reali,

dare al compasso un'apertura pari alla lunghezza della diagonale

e tracciare un arco di cerchio che intersechi la retta:

il segmento che parte dal punto di inizio della base del quadrato

e termina nel punto di intersezione tra l'arco di cerchio e la retta reale

ha una lunghezza pari esattamente alla radice quadrata di 2;

abbiamo portato la diagonale del quadrato sulla retta reale, se cosi si vuol dire).

Tutti i numeri "costruibili" devono però essere almeno algebrici,

cioè soluzioni di equazioni algebriche, quindi non trascendenti.

Nel 1844 Liouville dimostra l'intuizione di Eulero: i numeri trascendenti esistono.

Nel 1873 Hermite dimostra la trascendenza del numero e.

Ne segue la trascendenza di e^x, per x razionale e diverso da zero.

Nel 1882 Lindemann dimostra che e^x è trascendente anche per x algebrico,

ma nota pure che eⁱ^π non è trascendente, visto che vale –1

(è soluzione dell'equazione algebrica x+1=0)

e conclude che l'esponente iπ deve necessariamente essere trascendente.

Ma il numero immaginario è sicuramente algebrico (soluzione dell'equazione x²+1=0)

e quindi altrettanto certamente il trascendente è π.

E se un numero è trascendente allora non è algebrico, e se non è algebrico non è costruibile,

e se non è costruibile col cavolo che si riesce a disegnare un segmento lungo π con riga e compasso!

Il numero π nasce nella geometria del cerchio, ma riappare in una varietà sorprendente di situazioni, dall'elettromagnetismo alla meccanica quantistica, dallo studio dei moti ondosi al movimento dei pianeti alle collisioni tra le particelle elementari, e c'è chi l'ha addirittura intravisto - in via approssimata, naturalmente - nel rapporto tra la lunghezza effettiva dei fiumi, dalla sorgente alla foce, e la loro lunghezza ideale in linea d'aria, come esito di una battaglia tra ordine e caos.

A noi, per i nostri scopi, può però bastare la sua originaria natura geometrica, e vale allora la pena ricordare il modo in cui π interviene nella misura degli angoli.

Quando si trattò di assegnare una misura a delle porzioni di piano - a degli angoli - si scelse per l'intero piano il valore di 360 gradi (360°) che si può vedere come un multiplo della base 12 (360=12×30) o della base 60 (360=60×6); sono scelte (e numeri) che dovrebbero suonare familiari, se si pensa che un anno è fatto di 12 mesi (all'incirca 360 giorni), che i mesi sono centrati su 30 giorni, che il giorno è diviso in 24 ore, l'ora in 60 minuti e il minuto in 60 secondi.

Se ora disegniamo un cerchio di raggio unitario sul piano, siamo in condizione di rapportare la misura degli angoli alla misura degli archi di circonferenza; la scelta più conveniente - visto che l'intero piano misura per convenzione 360° - è dividere la circonferenza in 360 archi, cosicché l'angolo sotteso da ogni arco corrisponde a 1°.

Gli angoli - con questo standard - sono misurati avendo a riferimento la lunghezza 2π dell'intera circonferenza: un quarto di circonferenza equivale a π/2 e indentifica un angolo di 90°; metà circonferenza misura π e corrisponde a 180°; tre quarti di circonferenza misurano (3/2)π ed equivalgono a 270°; e l'intera circonferenza, di lunghezza 2π per costruzione, è l'equivalente dell'intero piano che per convenzione misura 360°.

Non serve altro per persuadersi che π è l'ambasciatore della Geometria.

e: il numero dei banchieri

Immaginate un banchiere buono e generoso - sì, lo so: questa è l'astrazione più complessa da accettare - al punto di riconoscervi un tasso di interesse annuo del 100% sulle somme che gli lasciate in deposito.

Se l'1 gennaio di un certo anno gli consegnate 100 euro, il 31 dicembre dello stesso anno ne potrete ritirare 200.

Estratto conto dal banchiere 1

1 gennaio: €100

31 dicembre: €100 + 100% × €100 = € 200

A fine anno, quindi, tornate in possesso dei vostri 100 euro iniziali maggiorati di altri 100 euro di interessi, per un totale di 200 euro, che converrà scrivere così: €200 = €100 + €100 = €100×(1+1), in cui il secondo 1 è la scrittura decimale di 100%.

Si può desiderare di più? Sembra di no.

E invece c'è un secondo banchiere - concorrente del primo - che vi propone condizioni migliori: un tasso di interesse del 50% ogni 6 mesi.

Se l'1 gennaio depositate 100 euro, il 30 giugno potete già riscuoterne 150, ma se invece li lasciate in deposito sino a fine anno, il banchiere vi riconoscerà un altro 50%, da applicare ai 150 euro che era vostro diritto ritirare a fine giugno. Il 31 dicembre festeggerete un bel capodanno, con ben 225 euro.

Estratto conto dal banchiere 2

1 gennaio: €100

30 giugno: €100 + 50% × €100 = €150

31 dicembre: €150 + 50% × €150 = €225

Abbiamo un capitale di €150=€100×(1+0,5) alla fine del primo semestre, che viene reinvestito ancora al 50% per il secondo semestre, e dà quindi un capitale finale di €100×(1+0,5)×(1+0,5), cioè €100×(1+0,5)²=€225 come a dire che i vostri 225 euro sono il frutto di 2 investimenti consecutivi a un tasso semestrale del 50%.

Questo è davvero il massimo, non è vero?

No. Spunta fuori un terzo banchiere, ancora più prodigo: da lui il denaro rende il 25% ogni tre mesi.

Se l'1 gennaio gli consegnate 100 euro, il 31 marzo ve ne riprendete 125, ma se non avete bisogno di ritirarli, e glieli lasciate in custodia, su quei 125 euro vi riconoscerà ancora un tasso del 25% per i prossimi tre mesi, cosicché il 30 giugno saranno diventati 156; e se non siete sollecitati da necessità impellenti, e non li toccate fino al 30 settembre, beneficerete di un altro 25%, e il vostro gruzzolo salirà a 196 euro; se poi resistete alla tentazione di ritirare il denaro prima di fine anno, sarete ricompensati con un altro 25%, e il 31 dicembre riceverete la bellezza di 244 euro come premio per la vostra parsimonia.

Estratto conto dal banchiere 3

1 gennaio: €100

31 marzo: €100 + 25% × €100 = € 125

30 giugno: €125 + 25% × €125 = € 156

30 settembre: €156 + 25% × €156 = € 196

31 dicembre: €196 + 25% × €196 = € 244

Il capitale alla fine dell'anno è quindi il frutto di 4 reinvestimenti consecutivi a un tasso del 25%: €100×(1+0,25)⁴=€244.

Un banchiere vi ha offerto il 100% per un anno (1 anno); un altro il 50% ogni sei mesi (1/2 anno); un altro ancora il 25% ogni tre mesi (1/4 di anno), ma ora ne sbuca fuori uno che li sbaraglia tutti: vi offre un tasso pari a (1/n) per ogni n-esimo di anno, e lascia a voi stabilire la frequenza n di capitalizzazione, che può essere un anno, un mese, una settimana, un giorno, un'ora, un minuto, un secondo, e anche meno, se mai foste in grado di tanta precisione nella misura del tempo.

Vedo già i vostri occhi a forma di "E", la "E" di Euro, vedo scorrere il simbolo € sulle vostre pupille come in una slot-machine impazzita: siete lì a calcolare gli interessi sugli interessi sugli interessi sugli interessi, e chissà se riuscirete mai a spenderlo tutto questo denaro che si auto-genera istante per istante...

Dal romanzo "Il teorema del pappagallo", di Denis Guedj.

Già. La "E" che fronteggiate non è il simbolo € dell'euro, ma la "E" della matematica, il numero e, altro numero irrazionale - della stessa razza di π, con infinte cifre dopo la virgola sprovviste di un periodo - che alla buona possiamo approssimare con 2,71 (come π lo approssimiamo con 3,14).

Cos'è accaduto? Che ne è stato dell'infinita generosità del banchiere?

Mettiamo un po' ordine.

Indichiamo con C₀ il capitale di 100 euro a inizio anno (1 gennaio) e con C₁ il capitale da riscuotere a fine anno (31 dicembre).

L'entità di C₁ dipende dal banchiere a cui vi rivolgete, dal tasso di interesse (1/n) che vi propone tempo per tempo e dal numero di periodi infrannuali n a cui potete reinvestire il denaro via via maturato: il primo offriva il 100% l'anno (n=1, C₁= €200), il secondo il 50% ogni sei mesi (n=2, C₁=€224), il terzo il 25% ogni tre mesi (n=4, C₁=€244), ma il quarto li batteva tutti perché lasciava a voi la scelta di n.

In generale, la crescita del vostro capitale è regolata dalla formula:

C₁=C₀×(1+1/n)ⁿ

E allora s'intravede la fregatura, se vogliamo chiamarla così, o più semplicemente il fatto che esiste un limite alla generosità del banchiere: al ridursi dell'orizzonte d'investimento (1 anno, 6 mesi, 3 mesi, ...) si riduce anche l'interesse incassato (100%, 50%, 25%, ...) che però può capitalizzarsi per un maggior numero di periodi; da un lato si guadagna di meno, perché l'interesse scende, dall'altro s'incassa di più, perché quel di meno si può reinvestirlo per più periodi.

Sul termine (1+1/n)ⁿ - che regola l'evoluzione del capitale iniziale C₀ - agiscono perciò due forze di segno opposto, all'aumentare di n: il fattore (1+1/n) diminuisce, si avvicina a 1, e tende a ridurre la ricchezza finale C₁; ma poi viene elevato a una potenza n-esima sempre più grande, che spinge ad accrescerla.

Se n aumenta indefinitamente - se n→∞, per dirlo al modo di matematici - c'è quindi una forza - il fattore (1+1/n) - che annichilisce la capitalizzazione, e un'altra forza - l'esponente n - che invece l'amplifica.

L'effetto complessivo - il saldo tra le due forze opposte - è un numero finito, il numero e, approssimato tanto meglio da (1+1/n)ⁿquanto più n è elevato.

Per essere precisi: il numero e è il limite del numero e_n=(1+1/n)ⁿ per n→∞.

Volete fare un favore all'umanità?

Scoprite perché è stata scelta proprio la lettera "e" per il limite di e_n=(1+1/n)ⁿ per n→∞.

Il numero 2,71828... si trova per la prima volta, indicato con la lettera "b",

in due comunicazioni di Leibnitz a Huygens, del 1690 e del 1691.

Le lettera "e" fa la sua comparsa nel 1727 nel volume "Mechanica" di Eulero:

forse stava per "esponenziale", o forse fu scelta perché le precedenti (a, b, c, d)

erano già correntemente utilizzate in algebra per i coefficienti delle equazioni,

e le successive (f, g) le si impiegavano invece per indicare le funzioni.

Sembra solo una coincidenza che la lettera "e" sia proprio l'iniziale di Eulero,

perché il numero era già noto ai matematici dell'epoca e non era certo una sua scoperta.

Abbiamo già incontrato questa espressione nel parlare della bellezza della notazione matematica.

Con una serie di manipolazioni formali, neanche troppo difficili,

se ne può mostrare l'equivalenza con la definizione e_n=(1+1/n)ⁿ per n→∞.

Ma è più espressivo interpretare questa somma infinita

con lo stesso ragionamento finanziario usato per arrivare a e_n=(1+1/n)ⁿ con n→∞,

e lo faremo per la sequenza dei primi quattro addendi, (1/0!)+(1/1!)+(1/2!)+(1/3!),

per i quali ci sorregge ancora l'interpretazione geometrica.

Costruiamo anzitutto un cubo di lato e volume unitari.

La faccia superiore del cubo è quindi un quadrato di lato 1 e area 1.

Se ci rivolgessimo al primo banchiere, quello del tasso annuo del 100%,

alla fine avremo l'euro iniziale (€ 1) maggiorato di un altro euro di interessi (€1×100%).

Questi due 1 corrispondono ai primi due termini della nostra somma infinita: (1/0!)+(1/1!).

Il secondo 1 può essere visto come il risultato del calcolo dell'area del quadrato:

la base del quadrato possiamo vederla come la lunghezza di un periodo annuale (1 anno)

e l'altezza come l'entità del capitale su cui si ha diritto a riscuotere l'interesse (1 euro).

L'euro di interesse (il secondo 1 nella sommatoria)

si crea pian piano, in proporzione al tempo trascorso:

dopo t=0,20 anni (tre mesi) avremo €0,20 (area di un rettangolo di base 0,20 e altezza 1);

dopo t=0,25 (quattro mesi) saranno diventati €0,25 (area di un rettangolo di base 0,25 e altezza 1)

dopo t=0,50 (sei mesi) sono arrivati a €0,5 (area di un rettangolo di base 0,5 e altezza 1),

e in generale si avranno t euro di interessi dopo un tempo 0<t<1 (rettangolo di base t e altezza 1)

sino ad arrivare a t=1 (1 anno) quando si avrà l'interesse completo di €1 (area del quadrato di lato 1).

La storia finirebbe qui, se avessimo consegnato il denaro al primo banchiere.

Ma la storia continua, se invece ci rivolgiamo al secondo banchiere, quello del 50% ogni sei mesi.

Dopo sei mesi, sul nostro euro iniziale (il primo 1 della sommatoria),

sono ora maturati 50 centesimi di interessi,

che da un lato contribuiscono per 1/2 al 100% di interesse annuo

(il secondo 1 della sommatoria)

e dall'altro formano un nuovo capitale suscettibile di produrre altri interessi

in proporzione al tempo che rimane sino a fine anno (6 mesi):

€0,50×100%×(6/12)=€0,25.

Sono gli "interessi sugli interessi", gentilmente concessi dal secondo banchiere.

Le cose andrebbero ancora meglio col terzo banchiere: 25% a trimestre.

Dopo tre mesi, sul nostro euro iniziale (il primo 1 della sommatoria),

sono adesso maturati 25 centesimi di interessi,

che da un lato contribuiscono per 1/4 al 100% d'interesse annuo

(il secondo "1" della sommatoria)

e dall'altro formano un nuovo capitale suscettibile di produrre altri interessi

in proporzione al tempo che rimane sino a fine anno (9 mesi):

€0,25×100%×(9/12)=€0,1875.

Arrivati a metà anno saranno maturati altri 25 centesimi di interesse

che saranno altro capitale fruttifero di interessi per il tempo che rimane (6 mesi):

€0,25×100%×(6/12)=€0,125.

E avanti per tutti gli interessi che maturano via via nell'anno,

che da un lato concorrono per la loro quota parte a formare il 100% di interesse annuo,

e dall'altro sono nuovo capitale su cui calcolare nuovi interessi in proporzione al tempo rimasto.

Ma noi abbiamo consegnato il nostro denaro al banchiere più generoso di tutti,

quello che consentiva una capitalizzazione continua degli interessi maturati istante per istante.

Già alla fine del primo giorno (1 gennaio)

- giusto per prendere un'unità di misura minimale ma ancora percepibile -

è maturato un interesse di 1/365 di euro, all'incirca €0,003,

che diventa un capitale da investire per 364 giorni al 100% annuo,

quindi capace di produrre interessi per € 0,003×100%×(364/365).

Alla fine del secondo giorno (2 gennaio) sono disponibili altri € 0,003,

da investire al 100% annuo per 363 giorni: €0,003×100%×(363/365).

E così via giorno dopo giorno, o meglio, istante dopo istante, per essere precisi.

Se sommiamo tutti questi "interessi sugli interessi" otteniamo €0,5,

che corrisponde al terzo termine della sommatoria, (1/2!),

e geometricamente equivale all'area del triangolo rettangolo

contenuto nel quadrato che rappresenta la faccia superiore del cubo

(l'ipotenusa esprime proprio il decadere dell'interesse al ridursi del tempo residuo).

E non finisce qui, anzi non finisce mai, per dirla tutta.

L'infinita generosità del banchiere fa sì che pure "gli interessi sugli interessi"

diventino un nuovo capitale su cui calcolare altri interessi,

secondo lo stesso meccanismo proporzionale già visto.

Quindi, il capitale unitario iniziale (il primo 1 della sommatoria)

ha dato origine a 1 euro di interessi (il secondo 1 della sommatoria)

che geometricamente è l'area del quadrato unitario;

gli "interessi sugli interessi" hanno generato un nuovo interesse di €0,5 (il termine 1/2!)

che geometricamente è l'area del triangolo rettangolo contenuto del quadrato unitario.

A quanto ammonteranno - e a cosa corrisponderanno geometricamente -

gli "interessi sugli interessi sugli interessi",

cioè gli interessi prodotti dal denaro che ha concorso a formare €0,5?

Si può già intuire che saranno pari a 1/3!, all'incirca €0,16,

geometricamente equivalenti al volume del tetraedro rettangolo, contenuto nel cubo unitario.

La regola generale è semplice da ricordare, anche solo come formuletta:

Il primo 1 è il capitale iniziale.

Il secondo 1 è l'area del quadrato: base del quadrato×altezza del quadrato.

Il termine 1/2! è l'area del triangolo: (base del triangolo×altezza del triangolo)/2.

Il termine 1/3! è il volume del tetraedro: (base del tetraedro×altezza del tetraedro)/3.

Senonché, la base del tetraedro è proprio l'area del triangolo

- base del tetraedro= (base del triangolo×altezza del triangolo)/2 -

quindi sostituendo, si ha:

volume del tetraedro=base del triangolo×altezza del triangolo×altezza del tetraedro/6,

e se si tiene contro che tutte le misure di base e altezza sono unitarie,

ecco veni fuori il quarto termine della sommatoria (1/3!)=1/(2×3)=1/6.

E possiamo immaginare di proseguire il ragionamento in 4, 5, ..., n dimensioni,

- pur venendo ovviamente a mancare un'immagine geometrica nello spazio fisico -

e avremo così infinite aggiunte correttive sempre più trascurabili,

che alla fine delineeranno il nostro numero esponenziale.

Quando Google decise di quotarsi sul mercato azionario americano,

il valore delle azioni disponibili per la vendita fu stimato in $ 2.718.281.828,

una valutazione di cui nessuno sul momento capì il senso,

abituati come si è a ragionare su cifre tonde, quando si parla di affari.

La somma corrisponde a "e" miliardi di dollari, approssimati all'unità,

e non è una bizzarria o un volersi atteggiare, ma un omaggio ai logaritmi naturali

e al loro ruolo centrale nel funzionamento dei motori di ricerca in rete,

di cui Google è oggi la massima - e di fatto unica - espressione.

Il numero e salta fuori ogni volta che si fronteggiano fenomeni d'accrescimento o decadimento - il conto in banca, ma anche lo sviluppo di una colonia batterica, lo smaltimento radioattivo, la diffusione di un virus, la scarica di un condensatore - e lo si può ritrovare persino nelle dinamiche sociali.

Ne scriveva inconsapevolmente il Manzoni nei "Promessi Sposi", nel capitolo XI, a proposito della circolazione dei segreti, confidati solo agli amici più intimi, e destinati a diventare noti a tutti (quindi non più segreti).

"Una delle più gran consolazioni di questa vita è l'amicizia; e una delle consolazioni dell'amicizia è quell'avere a cui confidare un segreto. Ora, gli amici non sono a due a due, come gli sposi; ognuno, generalmente parlando, ne ha più d'uno: il che forma una catena, di cui nessuno potrebbe trovar la fine. Quando dunque un amico si procura quella consolazione di deporre un segreto nel seno d'un altro, dà a costui la voglia di procurarsi la stessa consolazione anche lui. Lo prega, è vero, di non dir nulla a nessuno; e una tal condizione, chi la prendesse nel senso rigoroso delle parole, troncherebbe immediatamente il corso delle consolazioni. Ma la pratica generale ha voluto che obblighi soltanto a non confidare il segreto, se non a chi sia un amico ugualmente fidato, e imponendogli la stessa condizione. Così, d'amico fidato in amico fidato, il segreto gira e gira per quell'immensa catena, tanto che arriva all'orecchio di colui o di coloro a cui il primo che ha parlato intendeva appunto di non lasciarlo arrivar mai".

Anche in Dante vi è un accenno al meccanismo che da piccole quantità iniziali conduce a enormi quantità finali, quando per restituire l'idea del numero degli angeli del paradiso riferisce che "più che 'l doppiar de li scacchi s'inmilla", col richiamo a una famosa leggenda sulla ricompensa richiesta al Re dall'inventore del gioco degli scacchi.

Vi sono diverse versioni della leggenda a cui allude il passo di Dante.

Nella più semplice, il Re era così entusiasta del nuovo gioco,

che si disse pronto a ricompensare il suo inventore in qualunque modo avesse voluto.

Si vide però avanzare una richiesta apparentemente modesta:

tanti chicchi di grano quanti ne risultavano da una semplice somma,

uno sulla prima casella, due sulla seconda, quattro sulla terza, otto sulla quarta,

e ogni volta al raddoppio, sino alla sessantaquattresima casella.

Ma quando i funzionari del Re completarono il calcolo,

si resero conto che quell'apparente umile richiesta

equivaleva a 18.446.744.073.709.551.615 di chicchi (alla buona 18 miliardi di miliardi)

e alcune semplici proporzioni restituiscono tutta l'esosità dell'inventore:

400 chicchi di riso pesano 10 grammi,

quindi 18 miliardi di miliardi di chicchi pesano 461 miliardi di tonnellate;

la Cina - tra i maggiori produttori di riso - ne raccoglie circa 210 milioni di tonnellate l'anno.

Quanto tempo servirebbe alla Cina per produrre la quantità desiderata dall'inventore degli scacchi?

Con qualche semplice conto... 2.195 anni!

Spesso ci si trova a fronteggiare situazioni in cui la variazione di una grandezza (incremento o decremento) dipende dal livello presente della grandezza stessa. Così, ad esempio, l'incremento della dimensione di una palla di neve lungo un pendio dipende dalla dimensione via va raggiunta nel suo rotolare; l'incremento di una popolazione dipende dalla numerosità della popolazione stessa così come l'ammontare di nuovi contagiati da un virus dipende dal numero di contagiati presenti; un animale che ingrassa tanto più in fretta quanto più è grosso (come il capone, che quando pesa 1 kg, cresce in ragione di 1 kg l’anno, quando pesa 1,235 kg cresce in ragione di 1,235 e così via) è un altro esempio ancora.

Queste dinamiche di (de)crescita sono descritte da funzioni esponenziali, la cui struttura di base ha la forma y=a^x.

Li possiamo vedere come fenomeni y che (de)crescono secondo una progressione geometrica in dipendenza di una variabile x che cresce in progressione aritmetica: ogni valore assunto da y in una successione di istanti x equidistanti (anno, mese, giorno, ora) si ottiene dal precedente moltiplicandolo per una costante a positiva, maggiore o minore di 1, a seconda che la funzione sia crescente o decrescente (in generale: a incrementi assoluti uguali della variabile x corrispondono incrementi o decrementi percentualmente uguali della y).

L'evoluzione y dei chicchi di grano sulla scacchiera - ad esempio - è formalizzata dalla funzione y=2^x^-1, in cui x sono le caselle (quindi variabili su scala discreta: x=1, 2, 3, ..., 63).

Se x variasse su scala continua, sull'intero asse reale, l'andamento di y=a^x con a=2, si presenterebbe così.

In generale, la scelta della base a dipende dallo specifico problema, ma c'è da chiedersi se non vi sia una base "privilegiata", con proprietà formali che la rendono preferibile ad altre in una gran varietà di situazioni.

Ora, quando si valuta la bontà di una funzione, si guarda non solo a ciò che restituisce in termini di andamento del fenomeno, ma anche al modo con cui formalizza caratteristiche come la velocità e l'accelerazione.

La definizione formale di "funzione derivata" di una funzione f(t),

inclusa da Ian Stewart tra "le 17 equazioni che hanno cambiato il mondo"

(e pazienza se non è un'equazione, ma, appunto, una definizione).

La derivata (o meglio: la derivata prima) formalizza un concetto

di cui tutti facciamo esperienza di continuo: la velocità.

Immaginiamo un generico corpo mobile

- un corridore, un aereo, una mosca, una biglia lasciata in discesa, ... -

che percorre lo spazio in accordo con una determinata funzione matematica.

Per rendere più evocativa la formalizzazione, indichiamo con "t" (tempo)

ciò che di regola, in generale, indicheremmo con "x" (variabile indipendente)

e quindi indichiamo con f(t) la funzione che localizza il corpo mobile al tempo t.

Per fissare le idee, immaginiamo che sia y=f(t)=2^t,

e misuriamo lo spazio f(t) in chilometri e il tempo t in ore.

Quindi, al tempo t=0, il corpo mobile si trova in posizione f(0)=2⁰=1;

al tempo t=1 lo troveremo nella posizione f(1)=2¹=2;

in t=3 sarà posizionato in f(3)=2³=8 e in in t=4 in f(4)=2⁴=16.

A quale velocità ha viaggiato il corpo tra t=0 e t=4?

La velocità - per definizione - è il rapporto tra lo spazio percorso e il tempo impiegato a percorrerlo.

Nel nostro caso, di un corpo che si muove in accordo con la funzione f(t)=2^t,

lo spazio percorso è f(4)-f(0)=16-1=15 (km) e il tempo di percorrenza è 4-0=4 (ore).

La velocità a cui viaggiato, tra t=0 e t=4, è e quindi v=15/4=3,75 km/h.

Attenzione, però!

Parliamo di una velocità costante media all'interno dell'intervallo [0, 4],

e non della effettiva velocità tenuta istate per istante in quell'intervallo temporale.

Vale a dire: se il corpo viaggiasse a una velocità costante di 3,75 km/h,

partendo dalla posizione f(0)=1, allora al tempo t=4 si ritroverebbe in posizione f(4)=16,

la stessa a cui arriva viaggiando alla velocità sua propria, diversa istante per istante.

Noi non sappiamo quale sia l'esatta velocità tenuta dal corpo tra t=0 e t=4

- è ovvio, per dire, che tra 0 e 2 va più lento, e tra 2 e 4 più rapido -

ma sappiamo che se tra t=0 e t=4 viaggiasse alla velocità costante di 3,75 km/h

al tempo t=4 lo ritroveremmo nella sua posizione esatta, f(4)=2⁴=16.

Tutto va - a fini di ciò che accade tra t=0 e t=4 - come se il corpo viaggiasse a 3,75 km/h,

e non fa niente se nella realtà, tra t=0 e t=4, non viaggia questa velocità costante,

perché questa velocità costante ci assicura di ritrovarlo là dove deve essere al tempo t=4.

Cosa accade se accorciamo l'intervallo temporale, a esempio da t=0 a t=2?

Semplicemente dobbiamo rimodulare tutti i calcoli sulla nuova ampiezza,

e troveremo allora una velocità media del nostro corpo mobile pari a:

[f(2)-f(0]/(2-0)=[2²-2⁰]/2=3/2=1,5 km/h

a cui possiamo traslare tutti i ragionamenti già fatti per l'intervallo [0, 4],

e che ci conferma una velocità minore tra [0, 2] rispetto alla media di 3,75 km/h.

Tanto più accorciamo l'intervallo temporale di riferimento,

quanto più precisi diventiamo nella rilevazione della velocità effettiva.

Possiamo allora misurare per ogni punto la cosiddetta "velocità istantanea",

- la velocità tenuta dal corpo mobile "da un istante all'altro" -

rendendo l'intervallo temporale arbitrariamente piccolo,

facendo tendere la sua ampiezza (indichiamola h) a zero: lim[(2^t+h-2^t)/h], per h→0.

Quel che otteniamo è la funzione derivata della funzione f(t)=2^t,

funzione derivata perché, appunto, "deriva" da f(t), è ricavata a partire da f(t),

e nel nostro caso - in cui si ha f(t)=2^t - è uguale a f ^'(t)=2^tln2.

Quindi, in t=0 il corpo mobile ha velocità istantanea f(0)=2⁰ln2=ln2,

e si può assumere che questa velocità sia anche un'ottima approssimazione

per tutto ciò che accade in un intorno non troppo grande del punto t=0.

In t=1 si avrebbe f ^'(1)=2¹ln2=2ln2 e, di nuovo, questa velocità istantanea

approssima bene ciò che accade in un piccolo intorno del punto t=1.

Con la funzione derivata - in definitiva - si tiene sotto controllo la velocità del corpo

- e in generale l'evoluzione del fenomeno y i dipendenza di x - istante per istante.

L'intero procedimento si può replicare su f ^'(t), da intendere ora come funzione di partenza,

e si arriva così a caratterizzare una terza funzione - f ^''(t) - chiamata derivata seconda,

rappresentativa delle velocità variazione di f ^'(t), vale a dire dell'accelerazione di f (t).

Il trittico {f (t), f ^'(t), f ^''(t)} dà quindi la posizione, la velocità e l'accelerazione di un punto materiale,

ed è tutto ciò che spesso serve conoscere per studiare l'andamento di un fenomeno.

A quale velocità cresce la funzione y=2^x?

La risposta è nella sua funzione derivata, e se accostiamo la funzione evolutiva del fenomeno (curva rossa) alla sua derivata (curva verde) vediamo che entrambe sono crescenti, ma la curva verde sta sempre sotto la rossa: quindi se il fenomeno ha raggiunto il livello y_k in corrispondenza del valore x=k, la sua velocità da quel punto al successivo sarà minore di y_k, qualunque sia k.

Incontriamo la situazione opposta, se fissiamo il valore a=3.

Dai grafici della funzione y=3^x e della sua derivata si vede che il fenomeno cresce sempre a una velocità maggiore rispetto al livello raggiunto (la curva verde sovrasta la rossa).

S'intuisce allora che deve esistere una base - tra 2 e 3 - per la quale la funzione y=a^x e la sua derivata coincidono, per cui cioè il fenomeno cresce alla stessa velocità del punto che ha raggiunto (e la curva verde collassa sulla rossa).

Questa base è il numero e.

Per una generica funzione a^x, il tasso di variazione in un punto x

è proporzionale ad a^x, secondo il logaritmo naturale di a,

è cioè la funzione stessa moltiplicata per una costante, dipendente dalla base.

Soltanto la funzione f(x)=e^x ha la proprietà di valere 1 per x=0

ed avere un tasso di variazione df(x)/dx uguale alla funzione stessa f(x).

Si dice anche - con una certa eleganza formale - che la funzione f(x)=e^x

è soluzione dell'equazione differenziale df(x)/dx=f(x), con condizione al contorno f(0)=1.

Il numero e diventa così la base per antonomasia, e la funzione y=e^x è l'esponenziale per eccellenza, così come, in senso inverso, quando si vuol trovare un logaritmo (un'esponente x che soddisfa a^x=b, con a e b fissati) si presume che la base a sia il numero e (non a caso si parla di logaritmi naturali).

Immaginiamo un fenomeno y la cui evoluzione è funzione di una variabile x: y=f(x).

La velocità di y in un punto P è misurata dalla pendenza della retta tangente in P,

e alla retta tangente si può associare un segmento - chiamato sottotangente -

compreso tra il punto d'intersezione Q della retta tangente con l'asse delle ascisse

e l'intersezione H della perpendicolare abbassata dal punto di tangenza P sino alle ascisse.

La sottotangente misura il tempo in cui la funzione si raddoppierebbe (o si annullerebbe)

se crescesse (o diminuisse) preservando la pendenza nel punto P, cioè se proseguisse lungo la tangente,

e il suo reciproco misura pertanto l'intensità di accrescimento (diminuzione).

Le funzioni esponenziali a^x hanno la sottotangente costante

- tanto più piccola quanto più grande è la base, e viceversa -

è c'è da chiedersi se non vi sia una base in qualche senso privilegiata,

come già visto per la tangente (per la funzione derivata).

Questa base in effetti esiste ed è sempre il numero e,

a cui corrisponde una sottotangente di lunghezza unitaria,

con cui si realizza quindi una normalizzazione dello spazio e del tempo,

nel senso che misure fondamentali come la velocità e i tempi di duplicazione (o dimezzamento)

sono liberati dal coefficiente di proporzionalità e dal valore della base, quando si lavora con e^x.

Il numero e - in definitiva - si presenta naturalmente ogni volta che si parla di limiti, di derivate, di equazioni differenziali, di sviluppo in serie, e gli si può allora conferire senz'altro il ruolo di ambasciatore dell'Analisi Matematica.

Cinque personaggi in cerca di spiegazioni

"Un matematico è una persona per la quale la matematica è una soap opera" - ci ricorda Keith Devlin - "I personaggi della soap opera della matematica non sono persone ma, appunto, oggetti matematici: numeri, figure geometriche, gruppi, spazi topologici. I fatti e le relazioni al centro dell’attenzione non sono nascite, morti, matrimoni, relazioni sentimentali e rapporti d’affari, ma fatti matematici e relazioni tra oggetti matematici. Qual è la relazione tra gli oggetti X e Y? Gli oggetti del tipo X hanno tutti la proprietà P? Quanti oggetti di tipo Z esistono?"

Immaginate allora di ritrovare, nello stessso momento e nel luogo a cui siete più affezionati, vostra madre, il miglior amico di sempre, il grande amore e il professore che vi ha cambiato la vita. Persone diverse, lontane tra loro, che tra loro magari non si conoscono o si conoscono appena, ma ognuna con un ruolo centrale nella vostra esistenza: eccole tutte insieme, una abbracciata all'altra, davanti ai vostri occhi, nel posto per voi più bello, a raccantare la soap opera della vostra vitaa. Non sarebbe meraviglioso?

Questo è ciò che realizza la più bella formula della matematica, eⁱ^π+1=0: fa incontrare personaggi provenienti da mondi diversi - 0 e 1: aritmetica; i: algebra; π: geometria; e: analisi - li mette assieme, li lega, per restituire in un sol colpo l'immagine, se non di tutta la matematica, sicuramente dei suoi settori più conosciuti e di fondamento per gli sviluppi avanzati.

Questa ricca varietà di simboli e significati giustifica lo status che le si attribuisce, ma non può esserci bellezza senza comprensione, e perciò la nostra formula va capita nel profondo, se vogliamo coglierne il fascino ineguagliabile.

La cosiddetta formula - lo abbiamo già notato - coinvolge solo ed esclusivamente numeri, quindi esprime un calcolo, e tutto ciò che dobbiamo fare, all'apparenza, è eseguirlo per verificarne l'esattezza.

Sembra semplice, ma quando ci sporchiamo le mani con l'esecuzione delle operazioni - moltiplicazione, elevamento a potenza, somma - ci accorgiamo che nulla è come appare.

Lo 0 e l'1 - cuccioli tenerissimi - non danno alcun problema, stanno lì buoni senza dare fastidio.

La cosa è già diversa con π ed e, due numeri che indichiamo con delle lettere perché impossibili da esprimere attraverso un allineamento di cifre; ma non sottilizziamo; è vero che π ed e non sono conoscibili nella loro globalità, però possiamo approssimarli bene quanto vogliamo, allineando tutte le cifre necessarie per raggiungere la precisione desiderata.

La storia si complica davvero all'arrivo del numero immaginario i.

Cos'è i? E' la radice quadrata di -1. D'accordo. E a quanto è uguale la radice quadrata di -1?

Vi sconsiglio di chiederlo a un matematico, perché la sua risposta potrebbe farvi imbestialire.

Il numero i è la radice quadrata di -1 - vi dirà il matematico - quindi, semmai nei tuoi calcoli ti imbattessi in i², sappi che puoi sostituirgli -1.

D'accordo, semmai incontreremo i² scriveremo -1, ma qui abbiamo i e non i²: quale numero dobbiamo sostituire a i?

Per esser chiari: se al posto di i avessimo avuto la radice quadrata di 2 - così, tanto per dire - vi avremmo potuto sostituire approssimativamente 1,41 (come e lo approssimiamo con 2,71 e π con 3,14); ma quali cifre dobbiamo sostituire a i, alla radice quadrata di -1, anche solo in via approssimata?

Il matematico farà spallucce: i è la radice quadrata di -1, i² di conseguenza è -1, e in generale avrai -1 ogni volta che elevi i a un numero pari; se invece lo elevi a una potenza dispari, allora vedrai alternarsi i e -i; i⁰ infine è uguale a 1, perché ogni numero - reale o immaginario che sia - elevato a zero dà 1.

La nostra bella formula - eⁱ^π+1=0 - inizia a farsi desiderare.

Se i rimane i, se non lo possiamo esprimere con un allineamento di cifre - anche solo approssimato, come avviene per e e π - se tutto quel che abbiamo è una lettera, e non già una sequenza di cifre, come possiamo eseguire il prodotto πi che dà l'esponente di e?

E come facciamo quindi a sapere che eⁱ^π uguaglia -1?

Si sarebbe tentati di applicare il "metodo Ikea".

Avete presente quando comprate un mobile da Ikea, lo montante alla perfezione seguendo le istruzioni, ma alla fine vi rimane un pezzo in mano, che proprio non capite dove possa essere (o andava) collocato? Eppure il mobile sta perfettamente in piedi, sembra solido, non traballa. Vi rigirate quel pezzo misterioso tra le mani, magari si sono sbagliati a confezionarlo, e se pure se non si fossero sbagliati, comunque non serve, perché il mobile ne può anche fare a meno.

Forse, chissà, il nostro numero immaginario i è l'equivalente matematico del pezzo in avanzo del mobile Ikea; forse il risultato non cambierà granché, se lo togliamo dalla formula; non possiamo certo aspettarci che la formula rimanga perfettamente in piedi come il mobile Ikea - non si può sperare di trovare esattamente 0 al secondo membro - però, forse, non ce ne allontaneremo più di tanto; questa i - che ci crea così tanti problemi - forse non è così essenziale; forse.

Proviamo a toglierla, a eliminarla (per i più raffinati: sostituiamo a i il suo modulo): il lato sinistro della formula diventa e^π+1, che è un numero calcolabile; approssimiamo e con 2,71828 e π con 3,14159, così da stare tranquilli, per cui il numero e^π lo approssimiamo con 2,71828^3,14159; eseguiamo il calcolo su Excel e abbiamo il risultato di 23,14058; se sommiamo 1 arriviamo a 24,14058.

Accidenti! La nostra i non è il pezzo in più del mobile Ikea. Cambia tutto, se la togliamo. La formula crolla, non dà più zero, ma poco più di 24.

Ma - insomma - si può sapere cosa diavolo è questa i, questo numero immaginario col potere di azzerare un calcolo che, in sua assenza, porterebbe all'incirca a 24?

Cosa sono (e a cosa servono) i numeri

Richiamiamo un fatto noto a tutti, ma che molti spesso dimenticano: i numeri sono astrazioni e quindi non sono direttamente accessibili alle percezioni sensoriali.

Quand'è l'ultima volta che siete inciampati nel numero 2, o che il numero 5 è venuto a bussare alla vostra porta, che avete stretto la mano allo 0,25 o che siete stati rincorsi da π?

Voi, al più, avrete rotto 2 uova per fare una frittata, o ritirato 5 pacchi dal corriere Amazon, o diviso una torta in 4 parti uguali, ma in nessun caso avete fatto esperienza della conoscenza diretta dei numeri 2, 5, 0,25 nella loro purezza. Perché i numeri - scriveva Richard Dedekind - "sono libere creazioni dello spirito umano, servono come mezzo per distinguere più facilmente e più nettamente le cose".

A essere reali - o "solidissimi", per dirlo col giovane Törless di Musil - non sono quindi i numeri, ma le osservazioni empiriche che offrono continue occasioni per vederli all'opera, e che sembrano trasferire la loro realtà e solidità ai numeri stessi.

Perché i numeri sono sì astrazioni - simboli, segni - ma l'astrazione, contrariamente a una convinzione diffusa, non si riferisce a concetti contrapposti alla realtà, non nega ciò che è concreto e vivo, ma al contrario lo esalta: astratto - lo chiarisce l'etimologia - significa "tratto da" (e quindi "fondato su") svariati e variegati fatti osservati, nei quali si registra una serie di elementi comuni; astratto - nel suo significato genuino - è sinonimo di multi-concreto, perché l'astrazione accoglie e idealizza delle proprietà costanti riscontrabili in una gran varietà di casi reali tra loro anche molto diversi.

La forza dell'astrazione sta nello scoprire l'unitarietà sotto l'apparente diversità, nel vedere ciò che accomuna le esperienze più varie, di là delle loro differenze superficiali; ecco perché poi queste astrazioni - queste entità immateriali, create della nostra intelligenza - si rivelano un mezzo potente per leggere la concretezza, straordinariamente efficaci nel catturare ciò che avviene nel mondo circostante, a simularne così bene le dinamiche.

Chi si limita a registrare la realtà così com'è - confusa, contraddittoria, illogica, e col solo merito di essere la realtà - chi parla e ragiona sui singoli casi reali, senza preoccuparsi di concettualizzarli, si inoltra su un terreno scivoloso ed elusivo, dove le cose possono rovesciarsi rapidamente, perché sono proprio gli enti concreti a essere cangianti e mutevoli, e ad apparire quindi irreali, laddove solo l'astrazione ha il potere di sottrarli all'instabilità e all'evanescenza.

Dopodiché, è anche vero che l'astrazione produce piuttosto rapidamente concetti avanzati e complessi, che sembrano emanciparsi dalla più immediata realtà osservabile, con conseguente sforzo per dare un solido fondamento alle astrazioni stesse, come se fossero un mondo a parte.

Ma il punto non cambia: l'astrazione - se correttamente intesa come punto di arrivo e non di partenza - abbraccia una gran varietà di casi concreti di cui si ha esperienza, e predispone l'ambiente migliore per accogliere anche le casistiche future, a cui sul momento non viene da pensare, attraverso gli approfondimenti su sé stessa, così da diventare il coronamento del proprio sapere, un modo per inquadrare e semplificare ciò che già si è appreso e si apprenderà.

Dalla mia copia cartacea del libro "Matematica Logico Intuitiva", di Bruno de Finetti.

"Se si segue attentamente quello che noi facciamo nel computo di un insieme di oggetti, si è condotti a considerare la capacità dello spirito di riferire oggetti a oggetti, di far corrispondere un oggetto ad un altro ovvero di rappresentare un oggetto mediante un altro oggetto, capacità senza la quale è affatto impossibile ogni pensiero. Sopra questo unico fondamento, del resto assolutamente necessario, deve essere costruita, a mio parere, tutta la scienza dei numeri".

Cosa vuol dirci Dedekind?

Cosa vuol dire - ad esempio - che in un cesto ci sono tre mele? La domanda è così semplice, che paradossalmente si ha difficoltà a rispondere. Proviamoci.

Può voler dire che, se si prendono altrettanti zaini, è possibile infilare una mela in ogni zaino, senza che restino mele nel cesto o zaini vuoti. Oppure può voler dire che, se chiamiamo altrettanti bambini, possiamo dare a una mela a ognuno di loro, ancora una volta senza far rimanere mele nel cesto e bambini senza mele.

Noi non sappiamo dire - a rigore - quante sono le mele sul tavolo. Sappiamo però che i due insiemi - quello delle mele da un alto, quello degli zaini o dei bambini dall'altro - sono in corrispondenza biunivoca, che a ogni elemento dell'uno corrisponde uno e un solo elemento dell'altro e viceversa, che non vi sono elementi spaiati, che le mele sono tante quante gli zaini o i bambini, usati come metro di confronto.

Ma allora, anziché prendere arbitrariamente come insieme di confronto quello degli zaini o dai bambini, ci si può riferire - in modo definitivo, una volta per tutte, come standard - all'insieme dei simboli N={1, 2, 3, ..., n, n+1, n+2 ...} e dire che gli oggetti sono in numero n se e possibile istituire una corrispondenza biunivoca tra l'insieme degli oggetti reali da contare il sottoinsieme {1, 2, 3, ..., n} dell'insieme astratto N.

Contare - in definitiva - vuol dire con(fron)tare due insiemi: quello di diretto interesse (reale, effettivo) con uno (astratto) preso come standard di riferimento, per verificarne la loro corrispondenza biunivoca.

Senza saperlo è ciò che fa un bimbo già dentro la pancia della mamma, quando scopre di avere le dita e le alza una ad una, le muove, e senza saperlo, senza averne coscienza, le sta già contando: 1, 2, 3, 4....

Si conta già dentro la pancia di mamma.

E se a quel bambino - una volta nato e cresciuto - domandate la sua età, potrebbe rispondervi ad esempio "tredici anni e mezzo", per sentirsi più grande, per rivendicare il possesso di sei mesi aggiuntivi di vita, di 0,5 anni, che andrebbero perduti se il tempo ci limitassimo a contarlo in anni interi, anziché misurarlo su una scala più fine.

I decimali contano... a certe età.

Lo stesso ragazzino non avrebbe alcun problema ad accettare la presenza dei numeri negativi nella sua vita. Basterebbe farlo salire su un ascensore e mostrargli il pannello con i tasti: 0, 1, 2, 3 per indicare il piano terra, il primo, il secondo e il terzo piano, ma anche -1, -2, per indicare gli ambienti sotterranei, uno o due piani sotto il livello del suolo, per cui le grandezze negative differiscono dalle positive solo rispetto alla loro posizione relativa a un punto fisso su una retta.

La pulsantiera di un ascensore,

con numeri positivi e negativi.

Se poi - per avventura - dovesse studiare ragioneria, i numeri negativi diventerebbero uno strumento del lavoro di tutti i giorni, per indicare gli importi a debito e le perdite, contrapposti ai numeri positivi, per rappresentare crediti e profitti.

La maschera di Excel per settare il formato dei numeri:

i numeri negativi si possono scrivere col segno meno davanti,

oppure in rosso (richiamando l'antica pratica di indicarli così)

o ancora, a rafforzare la rappresentazione, sia in rosso che col segno meno.

Fatto di gran rilevanza, infine, è nel potergli trasmettere visivamente, a colpo d'occhio, il risultato di misure che non potrebbe mai realizzare. Disegnategli un quadrato di lato 1 (centimetri, metri o altro: scegliete pure voi l'unità di misura) e tracciatene la diagonale: quel segmento - entità geometrica finita - misura esattamente √2, un numero irrazionale, che nessuno potrà mai conoscere con esattezza, per il suo avere infinite cifre aperiodiche dopo la virgola, e che tuttavia interviene naturalmente nella realtà sotto il nostro sguardo. Lo stesso vale per la circonferenza di un cerchio di diametro unitario.

I numeri irrazionali davanti ai nostri occhi.

Quando parliamo di numeri, quindi, il nostro pensiero corre subito a una pluralità di operazioni di quantificazione, di conteggi e misure, e l'associazione è così spontanea e radicata da trasformarsi in identificazione: i numeri servono a contare e misurare, conteggi e misure si esprimono necessariamente con i numeri, e così numeri, conteggi e misure diventano la stessa cosa, un tutt'uno, un monolite.

Questa percezione di unitarietà tra astratto (numeri) e concreto (conteggi e misure) è all'origine dei turbamenti del giovane Törless, nel romanzo di Musil, e di tanti altri studenti di ogni ordine e grado quando si affrontano i numeri immaginari.

Cosa mai quantificherebbe il numero i? Quale operazione di misura o di conteggio esprime? Qual è il suo contraltare reale, tangibile? In che modo ne possiamo fare esperienza, anche solo concettuale?

Siamo al punto decisivo, che andrebbe chiarito in via preliminare, prima di iniziare qualsiasi trattazione formale sui numeri immaginari: il numero i non quantifica nulla, non misura nessuna grandezza, non conteggia nessuna quantità.

Questa affermazione può indurre uno spiazzamento, perché l'associazione tra numeri e quantificazioni è così interiorizzata nella nostra psicologia da essere oltremodo complicata da rimuovere, ed è così psicologicamente interiorizzata e complicata da rimuovere perché tutte le volte che abbiamo visto allargarsi il campo dei numeri - dai naturali agli interi ai razionali ai reali - ci siamo sempre ritrovati con entità matematiche che servivano comunque a quantificare, per cui ci aspettiamo che anche questa nuova estensione - agli immaginari - preservi una caratteristica percepita fondamentale per ogni ente che voglia qualificarsi come "numero".

Ma non potremo mai capire i numeri immaginari se gli forziamo un significato che non hanno, se ci ostiniamo vederli come il risultato di un'operazione di conteggio o misura, se non ci liberiamo dell'errata convinzione - diciamo pure del pre-giudizio, del giudizio formato prima di ragionare a modo - sulla natura dei numeri.

Non potremo mai capire i numeri immaginari, sin quando non capiremo che il numero non è qualcosa che esiste realmente nelle cose del mondo, ma una creatura dello spirito, la cui forza sta proprio nel non essere vincolata a una finalità specifica, nel trovarsi libera di mirare a più obiettivi, di compiere più operazioni (compatibilmente con la sua potenza di fuoco, con i modi con cui la si è creata).

Il numero è un'astrazione, e questa astrazione può servire a contare e misurare - come in effetti spesso accade - ma può servire anche ad altro, oppure servire a tutt'altro, e non contemplare i conteggi e le misure tra le sue applicazioni possibili: i numeri fanno quel che noi stabiliamo di fargli fare.

E cos'è che faremo fare al numero i, quale compito gli assegneremo?

Gli immaginari demistificati

"Dimenticate le torture mentali che questo procedimento vi farà subire e introducete queste quantità nelle vostre equazioni". Cardano - siamo intorno alla metà del '500 - invitava a gettare cuore e intuizione oltre l'ostacolo, ad accettare nei calcoli l'ingombrante presenza delle radici quadrate di numeri negativi, per quanto inquietanti.

Bombelli - che pure ne definì l'algebra - ne parlava come di "quantità silvestri", vi scorgeva la manifestazione di "un pensiero selvaggio" fondato "su un sofisma piuttosto che sulla verità".

Nel 1637 Cartesio introdusse il termine immaginario, all'interno di una gerarchia che riconosceva un valore di verità ai soli numeri positivi, per le soluzioni di un'equazione. "Né le vere né le false [negative] radici sono sempre reali; talvolta esse sono immaginarie".

Leibniz, nel 1702, definiva la radice quadrata di -1 un "mostro dell'analisi", un "portento del mondo ideale", un "anfibio fra essere e non essere", con cui lo "Spirito Divino" aveva trovato "una via d'uscita sublime" a tutti i problemi algebrici.

Ancora nel 1728 Newton teneva le radici quadrate dei numeri negativi ai margini della matematica, prive del diritto di cittadinanza tra le entità ammissibili. "E' giusto che le radici delle equazioni siano spesso impossibili, per esibire casi di problemi impossibili".

Eulero propose il simbolo i per la radice quadrata di -1, trovò la celebre identità e^iθ=cosθ+isinθ (da cui proviene la più bella formula della matematica) ma continuava a vedere negli immaginari dei "numeri che per la loro natura sono impossibili, che esistono solo nella nostra immaginazione".

Quindici anni dopo, il grande matematico Augustin-Louis Cauchy ripeteva che espressioni come a+b√–1 "prese alla lettera e interpretate secondo le usuali convenzioni, sono inesatte o non hanno senso", pur segnalandoche se ne potevano "dedurre dei risultati esatti", e perciò non serviva "torturare lo spirito" per divinare cosa potesse mai rappresentare il simbolo √–1.

Sarebbe irriguardoso - oggi - sorridere di tutta questa metafisica intorno a un simbolo per noi cristallino, o ironizzare sulla diffidenza con cui fu dapprima scartato, sullo stupore con cui fu poi riconosciuto, e sugli allarmi che non smetteva comunque di suscitare, una volta constatata la sua insopprimibile presenza.

Sorridere oggi vorrebbe dire non avere il polso della dimensione storica dei fenomeni, mancare di rispetto al cammino delle idee, ché tutti i numeri diversi dai naturali - quelli del "tutto è numero" di Pitagora, quelli "creati da Dio" secondo Kronecher, quelli "del bambino", secondo la protagonista del romanzo di Peter Høeg - sono andati incontro a remore e diffidenze, al momento della loro comparsa.

Lo zero è stato a lungo assente dai sistemi di numerazione, perché inutile nelle quantificazioni.

Vi sono stati dubbi sulla liceità dell'uno, perché - si argomentava - i numeri servono a contare, e il conteggio è un'operazione che ha significato solo per una moltitudine di oggetti, mentre l'uno parla solo di esistenza.

Diofanto s'interrogava sulla "impossibile soluzione dell'equazione assurda" 4=4x+20, impossibile e assurda perché soddisfatta per x=-4 (e "sono situazioni come queste" - annota John Derbyshire - "che ci fanno accorgere di come il pensiero matematico sia profondamente innaturale", se "per un concetto così di base come quello dei numeri negativi occorsero secoli per rendersi chiaro nelle menti dei matematici, con molti stadi intermedi di comprensione"). Anche Cardano, quando si serviva nei suoi calcoli dei numeri negativi, li chiamava numeri ficti (finti). E ancora in pieno '800 William Frend - che, d'accordo, non era un matematico - continuava a manifestare tutte le sue perplessità: "[un numero] accetta di essere tolto da un numero maggiore di sé, ma tentare di toglierlo da un numero minore di sé è ridicolo. Eppure ciò è tentato da parte degli algebristi che parlano di un numero più piccolo del nulla; o di moltiplicare un numero negativo per un numero negativo e produrre così un numero positivo; o di un numero che è immaginario... E' tutto gergo, dal quale il senso comune si ritrae; ma dopo averlo adottato una volta, come capita per molte altre finzioni, esso trova i suoi sostenitori più strenui tra coloro che amano accettare le cose sulla fiducia e odiano il colore di un pensiero serio".

I pitagorici non si rassegnavano a dover consegnare il rango di numero al rapporto tra la diagonale e il lato di un quadrato, al punto da affogare Ippaso di Metaponto nel mare di Crotone, per aver rivelato l'esistenza della √2 nel mondo fisico (che si ipotizzava misurabile solo con numeri interi e loro rapporti).

Nel caso degli immaginari, poi, c'era un accidente in più: il loro nome.

Battezzare una cosa significa emettere un giudizio di merito, perché la scelta delle parole non è mai neutra. Se alcuni numeri prendono il nome di immaginari, e se li si contrappone ad altri di numeri detti reali, è inevitabile - anche solo a livello inconscio, psicologico - percepirli inesistenti, una pura astrazione, nel senso deviato del termine, di un simbolo non correlato a nulla di tangibile, in nessun caso materializzabile.

Come accade in tutti i battesimi - siano essi di cose o persone - il nome rimane invariato una volta assegnato, espressivo o ingannevole che sia, e con quel nome bisogna poi convivere e fare i conti.

Gauss arrivò ad attribuire proprio al nome - immaginari - la colpa di tante incomprensioni, forse evitabili con una terminologia meno enfatica, più sobria. "Che questo argomento sia stato finora visto da un punto di vista sbagliato ed ammantato da misteriosa oscurità deve essere attribuito in gran parte a una denominazione mal concepita. Se per esempio, +1, −1, √−1 fossero state chiamate unità diretta, unità inversa e unità laterale, invece di unità positiva, unità negativa e unità immaginaria (o qualche volta addirittura impossibile) tale oscurità non sarebbe stata neppure in discussione".

Il nome "immaginario" - in effetti - non solo non è evocativo del significato del simbolo i, ma lo rende addirittura impenetrabile, suggerisce contenuti metafisici, fuori dalla portata dell'umana percezione.

Serve però chiedersi come mai sia stato scelto proprio questo nome - "immaginario" - e non un altro.

Serve tornare indietro nel tempo, al contesto storico e alla cultura dell'epoca in cui le radici quadrate di numeri negativi si affacciarono sulla scena.

"Artis magnae sive de regulis algebraicis",

"La grande arte, ovvero le regole dell’algebra", più noto come "Ars Magna",

è lo storico testo di Girolamo Cardano, del 1545, che segna la nascita dell'algebra moderna.

Tra il '500 e il '600 l'algebra è il più rigoglioso settore di ricerca matematica, dopo secoli in cui non si era registrato nessun progresso significativo.

Gran parte degli studi ruotano intorno alle messa a punto di formule risolutive "per radicali" delle equazioni algebriche, procedimenti basati sulle quattro operazioni aritmetiche e l'estrazione di radice. Rimane un'algebra retorica, intesa come "scienza della quantità", e se ne ha traccia nella gerarchia imposta alle soluzioni di un'equazione: le vere radici sono solo positive (intere o frazionarie) altrimenti, se negative, sono giudicate false (perché non esiste una quantità minore di zero).

La distinzione di rango - tra radici positive e negative - fa sì che i numeri immaginari restino in ombra nelle equazioni di secondo grado. Se già due radici negative declassavano l'equazione, a più forte ragione un discriminante negativo le delegittimava del tutto, le toglieva qualsiasi interesse o significato, non poneva nemmeno il problema di qualificare la soluzione - come vera o falsa - perché sicuramente non c'erano soluzioni.

Risolvere un'equazione algebrica di secondo grado, ax²+bx+c=0,

significa trovare gli zeri della funzione quadratica y=ax²+bx+c,

cioè i punti x₁ e x₂ (eventualmente coincidenti) per quali y=0.

La posizione della funzione sul piano cartesiano (x, y)

dipende dai valori dei coefficienti (a, b, c)

e se il discriminante Δ=b²-4ac è negativo,

la parabola non incontra mai l'asse x delle ascisse,

quindi manifestamente l'equazione ax²+bx+c=0 non ha soluzioni.

Questa semplice percezione visiva era sufficiente a chiudere ogni discorso,

se per accidente la terna (a, b, c) dava origine a un discriminante negativo.

Le cose già cambiano con le equazioni di terzo grado.

Numerosi matematici greci si erano cimentati nella loro risoluzione, fin dai tempi di Archimede, ma avevano sbrogliato solo casi particolari, molto specifici, risolti più che altro per tentativi o approssimazioni, senza mai trovare un metodo generale valido per tutte le equazioni cubiche.

"Forse uno di quelli che verranno dopo di noi riuscirà a trovare la regola", scrisse sconsolato il matematico arabo Omar Khayyam, vissuto tra il X e XII secolo.

La scoperta della formula risolutiva delle equazioni di terzo (e quarto) grado

ha sullo sfondo duelli e segreti, nello stile proprio della matematica rinascimentale.

Nel XVI secolo i matematici erano abituati a sfidarsi a colpi di problemi algebrici,

nel rispetto di un codice d'onore che vietava di rivolgere al rivale

una questione che lo sfidante stesso non fosse capace di risolvere.

Nel 1535 il ragioniere lagunare Antonio Maria Fior sfidò Niccolò Tartaglia

con 30 problemi tutti riconducibili a equazioni di terzo grado del tipo x³+px+q=0.

Fior sosteneva di conoscere la regola risolutiva delle equazioni cubiche

- confidatagli da un gran matematico, di cui non voleva fare il nome -

e la stima che se ne aveva nell'ambiente culturale veneziano

indusse Tartaglia a credergli, quindi ad accettare la sfida.

E il 12 febbraio 1535 se l'aggiudicò:

trovò la formula risolutiva delle equazioni cubiche nella forma x³+px+q=0,

la prima grande scoperta algebrica dai remoti tempi dei matematici babilonesi.
Tartaglia tenne per sé la sua scoperta, com'era d'uso all'epoca,

sia per valersene con profitto nelle disfide con altri studiosi,

sia per mantenere la sua influenza su allievi e cultori di matematica.

A Milano, tuttavia, un intellettuale tra i più brillanti e controversi del Cinquecento

- Gerolamo Cardano, medico, matematico, filosofo, astrologo, taumaturgo, giocatore d'azzardo -

bramava la conoscenza della fatidica formula più d'ogni altra cosa.

Scrisse a Tartaglia supplicandolo di rivelargliela,

per inserirla in un un libro di algebra a cui stava lavorando,

ovviamente riconoscendogli la totale paternità.

La replica di Tartaglia fu perentoria:

non avrebbe permesso a nessuno di diffondere la sua scoperta,

anche perché sarebbe stato lui stesso a comunicarla, a tempo debito, in una sua opera.
("quando voro publicar tal mia inventione la voro publicar in opere mie").

Cardano non si diede per vinto e rintuzzò l'attacco:

ciò che davvero gli importava - disse - era conoscere la misteriosa formula,

il suo era un interesse esclusivamente intellettuale,

e garantì che, se gli fosse stata svelata, avrebbe mantenuto il segreto.

Tartaglia rimase insensibile, ma la tenacia di Cardano alla fine ebbe la meglio,

e con una lettera del 25 marzo 1539 la formula usci alla luce.

L'algebra dell'epoca era ancora priva di un simbolismo specifico,

tutto veniva espresso a parole, in forma discorsiva.

e la cosiddetta "formula" si presentò in versi, in terzine,

che nel linguaggio matematico moderno suonerebbero così:

"Quando x³+px²=q, trova due numeri, u e v, tali che u-v=q, e che u×v=(p/3)³.

Allora la differenza tra le radici cubiche di u e v ti darà la soluzione x...".

Tartaglia era venuto a capo di un problema algebrico secolare,

ma c'era un algebra dell'anima che evidentemente ignorava:

un segreto, per essere preservato, e rimanere segreto,

dev'essere conosciuto da un numero dispari di persone, e inferiore a tre.

E a conoscere le formule di Tartaglia, ora, erano invece in due.

Cardano le svelò al suo migliore allievo, il matematico bolognese Ludovico Ferrari

- altro bel tipetto: a 17 anni, in una rissa, aveva perso alcune dita della mano destra -

e sarà proprio grazie alle formule risolutive di Tartaglia

che Ferrari arriverà con grande maestria alle soluzioni delle equazioni di quarto grado,

altra pietra miliare nella storia dell'algebra.

C'erano davvero troppe novità, e troppo succose, per non annunciarle al mondo.

Ma come farlo senza violare il giuramento di segretezza?

Nel 1542 Cardano e Ferrari si recarono a Bologna da Annibale Della Nave,

docente di aritmetica e geometria nell'ateneo locale.

Il professore gli mostrò un taccuino del suocero, Scipione Dal Ferro,

predecessore della sua cattedra, morto sedici anni prima.

E - sorpresa! - il quadernetto conteneva la stessa identica formula di Tartaglia,

databile perciò tra il primo e il secondo decennio del Cinquecento.

Anche Dal Ferro l'aveva tenuta segreta, proprio come Tartaglia,

per confidarla solo in punto di morte a pochi amici intimi,

tra cui il genero Della Nave e probabilmente l'allievo Antonio Maria Fior,

che quindi era stato sincero nell'alludere alle rivelazione di un grande matematico.

Cardano abbracciò un ragionamento capzioso, per liberarsi dell'obbligo verso Tartaglia:

aveva giurato di tenere segreta la formula di Tartaglia, non quella di Dal Ferro,

e pazienza se - inevitabilmente - le due formule erano le stesse.

E a ogni modo - si disse - il primato spettava a Del Ferro, non a Tartaglia,

così nel 1545 diede alla stampe il suo trattato "Artis magnae sive de regulis algebraicis",

più noto come "Ars Magna", in cui spiattellò tutte le formule risolutive,

con tutti i dovuti riconoscimenti a Dal Ferro, Tartaglia e Ferrari.

Ma una pacca sulla spalla non poteva certo rimediare a uno spergiuro.

Nel 1546 Tartaglia pubblicò "Quesiti et inventioni diverse",

un libro in cui esponeva la propria versione dei fatti,

riservando a Cardano un assortito campionario di insulti:

"in più cose conosco costui esser molto più tondo [tonto] di quello che io istimavo";

"egli è di poco ingegno", "tien poco sugo", "lo giudico di poco discorso".

Ma - soprattutto - dimostrò di aver finalmente appreso l'algebra dell'anima:

"Quello che tu non voi che si sappia, noi dire ad alcuno".

Un'equazione di terzo grado nella sua forma completa ax³+bx²+cx+d=0 si può sempre ridurre alla forma più semplice x³+px+q=0, in cui il termine di terzo grado ha un coefficiente unitario e non compare più il termine di secondo grado. E questa equazione ammette una formula risolutiva "per radicali".

"Lo sviluppo di più grande importanza per la matematica in Europa fu la scoperta di Tartaglia che si può risolvere un'equazione cubica" - scrisse il fisico Richard Feynman - "sebbene di poco uso in sé stessa, questa scoperta deve essere stata meravigliosa da un punto di vista psicologico. Aiutò molto nel Rinascimento a liberarsi dall'intimidazione da parte degli antichi".

Qual era allora il problema, l'intoppo?

Prendiamo l'equazione x³-15x-4=0. Bombelli lavorò d'ingegno sulla formula risolutiva, e - una volta smarcate le radici cubiche - arrivò a un'espressione che conteneva le radici quadrate di numeri negativi, per avere una delle tre soluzioni:

x=2+√−1-√−1+2=4

Fortuna volle che le due radici problematiche avessero segno opposto, perciò si elidevano, andavano via senza più dare fastidio, e si atterrava così su una tranquillizzante soluzione reale.

Il 4 era un numero solidissimo, per dirlo con Törless, ma per arrivare a 4 si era dovuti transitare per le radici √−1 e -√−1, che si erano sì annullate l'un l'altra, ma non per ciò avevano portato via l'inquietudine di averle fronteggiate.

Era come se - appunto - per raggiungere un risultato concreto si fosse stati obbligati a maneggiare qualcosa che non c'era, a passare per un luogo inesistente, perché proprio non si capiva dove potevano sostare le radici √−1 e -√−1 né cosa rappresentassero, se non una stramberia in cui ci si era imbattuti nell'applicazione della formula risolutiva.

La funzione cubica y=x³-15x-4 (in azzurro) con l'indicazione dei suoi zeri (in rosso),

cioè dei tre punti x₁, x₂, x₃ che soddisfano l'equazione x³-15x-4=0.

I valori - in ordine crescente - sono i seguenti:

x₁=-2-√3;

x₂=-2+√3;

x₃=4.

I matematici rinascimentali rimanevano scettici davanti alle radici quadrate di numeri negativi: le percepivano come un'escamotage, utile rispetto a certe questioni, ma di per sé magico, misterioso.

Ora, un ragionamento inconcludente o un'affermazione sbagliata di uno o più grandi matematici, possono ancora meritare attenzione, al pari di una scoperta o di un'intuizione geniale, se aiutano a chiarire le cause che hanno accelerato o ritardato il progresso delle conoscenze, e in questo senso la storia dei numeri immaginari preserva intatto tutto il suo valore culturale.

Ma è una follia impostare la didattica odierna riproponendo le incertezze, i dubbi, le remore dei matematici del passato, come se tutti questi timori fossero ancora d'attualità, come se cinque secoli fossero trascorsi invano. Così come è parimenti folle dare ai numeri immaginari una connotazione esclusivamente tecnica, ineccepibile nella forma, ma povera nella semantica, con pregiudizio per la loro giustificazione sostanziale.

Non sono dunque i numeri immaginari in sé a essere un ostacolo, ma le distorsioni didattiche nel loro insegnamento, gli abusi della loro storia per giustificarne l'introduzione, che anziché neutralizzare la suggestione implicita nell'aggettivo immaginario finiscono con l'ammantarlo di un apparato ora misterioso ora formalistico, che in ogni caso impedisce di vederne senso e scopo.

Per colmo d'impostura, poi, questo approccio aberrante viene fatto retroagire all'insegnamento di tutte le classi di numeri, spesso presentate incapsulate le une nelle altre, e via via ampliate - per rispondere a problemi algebrici, di natura puramente formale - in stile "scatola cinese".

La versione formale del metodo della "scatola cinese":

tutto muove dall'insieme dei numeri naturali: 1, 2, 3, 5, ..., n, ... .

La differenza tra due numeri naturali, "m" e "n", definisce un numero intero "z"

(e in particolare ancora naturale se "m" è strettamente maggiore di "n").

Il rapporto tra due numeri interi, "p" e "q", definisce un numero razionale "q"

(in particolare intero se "p" è multiplo di "q" e naturale se "p" e "q" hanno anche lo stesso segno).

Il passaggio dai razionali ai reali è un filo più sofisticato

ed è collegato alla possibilità di trovare sempre un punto di separazione

tra due insiemi A₁e A₂. scelti a piacere

(ad esempio gli insiemi A₁={numeri il cui quadrato è inferiore a 2}

e A₂={numeri il cui quadrato è superiore a 2}

hanno il loro punto di separazione nel numero reale √2).

I numeri complessi, infine, sono formalmente definiti da una coppia (a, b) di numeri reali.

Ogni classe di numeri rende sempre possibili delle operazioni

(sottrazione, divisione, estrazione di radice, convergenza)

che nella classe precedente non è detto si possano realizzare:

in Z, ad esempio, si può sempre eseguire la sottrazione x-y

(laddove in N la si può realizzare solo se x>y);

in Q si può sempre eseguire la divisione x/y

(laddove in Z la si può realizzare solo se x è un multiplo intero di y)

e così via.

Una versione divulgativa del metodo della "scatola cinese", per presentare i vari tipi di numeri.

La versione letteraria del metodo della "scatola cinese".

L'invettiva di Bruno de Finetti contro il metodo della "scatola cinese".

Se ogni estensione di un sistema numerico a un sistema più ampio è motivata solo dalla necessità di risolvere questioni che nel sistema ristretto non hanno risposta - per cui l'equazione x+1=0 non ha soluzioni in N, e allora si costruisce il sistema Z degli interi; l'equazione 2x=5 non ha soluzioni in Z, quindi si costruisce il campo dei razionali Q; l'equazione x²-2=0 non ha soluzione in Q, perciò ci si allarga al campo R dei reali; l'equazione x²+1=0 non si può risolvere in R, e allora si crea il campo C dei complessi - se il compito dei numeri è tutto qui, nell'allargarsi a dismisura pur di dare soluzioni a problemi che non ne ammettono (sic!) allora solo un disadattato, un futuro serial killer o un alienato - o un innamorato folle della matematica, capace di gettare il cuore oltre l'ostacolo - potrà trovarli interessanti.

E se lo studente può ancora raddrizzare autonomamente la stortura della "scatola cinese" - intuendo da sé le entità effettive con le proprietà richieste dalla generalizzazione algebrica - l'arrivo dei numeri immaginari lo obbliga alla resa, perché il salto logico da R a C non si può cogliere "a buon senso", senza qualcuno che spieghi esattamente cosa e dove guardare, affinché i nuovi numeri risuonino con l'animo di chi deve apprenderli.

Vogliamo capire i numeri immaginari? Bene. Allora dobbiamo prima di tutto riguardare sotto una nuova luce i numeri reali, reinterpretarli nel loro significato logico e metterne da parte la funzione aritmetica.

I numeri reali - quei numeri usati ogni giorno per conteggi e misure - si possono anche vedere come entità matematiche capaci di alterare le dimensioni degli oggetti, tramite l'operazione di moltiplicazione.

Un numero reale r, munito dell'operatore ×, e scritto nella forma r×, se applicato a una penna, a un dipinto, a una lampada, a un palazzo, o a qualsiasi altro oggetto che abbia senso pensare moltiplicato per r, ha il potere di ingrandirlo (se r>1) o di rimpicciolirlo (se 0<r<1).

I numeri reali sono cioè dei modificatori di dimensioni, e da qui bisogna partire per comprendere i numeri immaginari.

Da "Tre personaggi della matematica", di Bruno de Finetti.

Vediamo subito all'opera r× su alcuni casi molti semplici.

Immaginiamo un quadrato di lato a (e quindi di area a²).

Fissiamo r=2 e applichiamo l'entità 2× al nostro quadrato di lato a: stiamo moltiplicando un numero (il 2) per una figura geometrica (il quadrato).

Il risultato del prodotto "2×quadrato di lato a" è un quadrato con misure lineari doppie rispetto alle originarie (e quindi di superficie quadrupla) cioè un quadrato di lato 2a (e area 4a²).

Se, specularmente, fissiamo r=1/2, abbiamo come risultato un quadrato più piccolo, di lato a/2 (e area a²/4).

Ingrandire o rimpicciolire le cose sono operazioni materialmente realizzabili, nel mondo reale.

Possiamo ad esempio vedere un quadro di nostro gusto, che ci piacerebbe avere in casa, ma trovarlo troppo grande per le dimensioni del nostro salotto. Potremmo allora commissionarne una copia identica ma su scalata ridotta, a esempio la metà, e ciò che stiamo ordinando all'artista è di applicare l'operatore 1/2× al dipinto originario.

Aumentare o ridurre le dimensione degli oggetti è poi un'operazione familiare e immediata, se pensiamo ai documenti digitalizzati.

Quando aumentiamo o riduciamo il grado di risoluzione di un file sul video del nostro computer - passando a esempio dalla dimensione originaria del 100% a un ingrandimento del 150% o una riduzione del 60% - è come se gli avessimo applicato l'operatore r× (rispettivamente r=1,5 e r=0,6).

L'articolo "Tre personaggi della matematica", di Bruno de Finetti, in versione digitale.

Adobe Acrobat Reader consente di variare a piacimento il grado di risoluzione della visualizzazione

(e nel menù a tendina propone alcune opzioni come multipli di cinque).

Il file - per come lo vediamo - è stato ridotto al 60% della dimensione originale (r=0,6).

Ognuno dei valori mostrati nel menù a tendina, o altri che si possono aggiungere manualmente,

corrisponde a una diversa scelta di κ, che altera le dimensioni in aumento (r>1) o in riduzione (r<1).

Ogni volta che un oggetto entra in contatto con l'operatore r× - ogni volta che moltiplichiamo un numero reale per un'entità a cui è lecito applicarlo - le sue dimensioni lineari ne risultano alterate in proporzione a r.

E se un oggetto, oltre a ingrandirlo o rimpicciolirlo, lo volessimo ruotare?

Immaginiamo di avere questo rettangolo...

... e di volerlo disporre così.

Osserviamo - di nuovo, prima di tutto - che ruotare gli oggetti è un'altra operazione usuale, di cui facciamo esperienza continuamente.

Il nostro quadro potrebbe trovarsi per terra, appoggiato a una parete, in posizione orizzontale.

E noi vogliamo sollevarlo e disporlo nella posizione verticale (con cui sarà poi appeso alla parete).

Oppure pensiamo all'atto di spostare un bell'armadio pesante, dal centro della stanza verso il muro: non ci metteremo certo a spingerlo in linea retta; opereremo piuttosto per piccole e continue rotazioni, che pian piano lo avvicinino alla parete.

E possiamo ancora riferirci ai documenti digitalizzati, se vogliamo un altro esempio: tutti i programmi di lettura dei file includono l'opzione di rotazione.

L'articolo "Tre personaggi della matematica", di Bruno de Finetti, in versione digitale.

Adobe Acrobat consente di ruotare il file di 90°, in senso antiorario (come si vede qui) o orario.

E allora, come si fa a ruotare gli oggetti nel mondo matematico?

Come facciamo a "mettere in piedi" il nostro rettangolo, sia esso un'astrazione, un dipinto, un file o altro?

Come possiamo ruotare le cose, tutte le cose che abbia senso pensare di ruotare di 90°?

L'operatore r× può modificare a piacimento le dimensioni degli oggetti, ma in nessun caso può ruotarli.

Serve un nuovo operatore, un'entità matematica capace di ruotare degli oggetti.

Questa entità è il numero i, che possiamo chiamare numero immaginario per rispetto alla tradizione, ma che potremmo anche chiamare unità laterale, come proponeva Gauss, perché gli conferiamo il potere di posizionare gli oggetti su un lato diverso da quello in cui si trovano, il potere di ruotarli: ogni qualvolta applichiamo i× a un oggetto, quell'oggetto sarà ruotato di 90° in senso antiorario.

D'accordo: il numero i ruota gli oggetti, ma perché è uguale alla radice quadrata di -1?

Per capirlo, torniamo in un ambiente propriamente matematico, sulla cosiddetta linea dei numeri - che più in là s'imparerà a chiamare retta reale - una rappresentazione spaziale intuitiva delle sequenze numeriche, con cui si associano aritmetica e geometria, con cui a ogni numero corrisponde un punto e a ogni punto corrisponde un numero.

Sulla nostra retta, per semplicità, abbiamo riportato solo numeri interi, ma in generale a ogni punto della retta (reale) corrisponde un numero (reale) e viceversa; quindi, a esempio, esattamente a metà tra 0 e 1 troveremo il numero 1/2; tra 1 e 2 ci sarà la radice quadrata di 2; tra 2 e 3 troveremo il numero e; poco dopo il 3 ci sarà π, e così via.

La retta reale è il nostro mondo, in cui vivono degli oggetti chiamati numeri reali, materializzabili con altrettante frecce che partono dall'origine (dal numero zero) e arrivano sino al numero scelto; possiamo anche dire che la retta reale è abitata da infinite frecce, ognuna caratterizzata da una lunghezza e un verso.

Il numero 1 - a esempio - è materializzabile in una freccia di lunghezza 1 direzionata verso est.

Immaginiamo ora di modificare la lunghezza della nostra freccia, a esempio di volerla raddoppiare.

Abbiamo a disposizione l'operatore r× e non serve far altro che fissare r=2.

Se applichiamo 2× alla freccia unitaria avremo una freccia di lunghezza 2.

Oppure potremmo fissare r=1/2 e allora la nostra freccia dimezzerebbe la sua lunghezza.

In generale, possiamo alterare a piacimento la dimensione della nostra freccia - allungarla o accorciarla - applicandogli l'operatore r× col valore di r desiderato (minore di 1 per accorciarla, maggiore di 1 per allungarla).

Se si desidera un'immagine concreta, si può richiamare alla memoria il ballare tipico di Michael Jackson, quel caratteristico andare avanti e indietro su una linea immaginaria come se scivolasse da un punto all'altro; il movimento della freccia, il suo allungarsi e accorciarsi provocato dall'applicazione di r×, ora con r<1 ora con r>1, non è che la riproduzione stilizzata dell'andirivieni di Michael Jackson, del suo modo di ballare.

Ma cosa accade se alla nostra freccia applichiamo l'operatore r× con r=-1?

E' facile rispondere, sul piano formale: succede che la freccia non altera la sua lunghezza - che rimane 1 - ma cambia verso, e se prima puntava a est, dopo l'applicazione di -1× guarderà a ovest.

La freccia ha cambiato verso, d'accordo, ma... come ha fatto a girarsi? Quale movimento ha compiuto? Qual è la dinamica della giravolta?

Ricordiamoci che la retta reale è (al momento) tutto il nostro mondo: sulla retta ci si muove avanti e indietro, ma dalla retta non si evade, nessuna freccia può scollarsi dalla retta che la ospita.

E' facile immaginare il movimento della freccia, finché la moltiplicazione coinvolge valori positivi di r - possiamo vederla stirarsi in avanti per r>1 e contrarsi all'indietro per r<1 - ma se a r assegniamo un valore negativo, se obblighiamo la freccia a cambiare verso, le stiamo imponendo un'inversione di rotta inconciliabile con le nostre percezioni dei movimenti sulla retta, impossibile da visualizzare, per quanta fantasia si possa avere.

Se la retta è tutto il nostro mondo, se ogni spostamento deve realizzarsi solo ed esclusivamente sulla retta, allora l'applicazione dell'operatore -1× alle frecce che vi abitano provoca una situazione in cui sono chiari solo i punti di partenza e d'arrivo, ma rimane oscuro il tragitto seguito dalla posizione iniziale (in cui le frecce puntano a est) a quella finale (con la punta verso ovest).

Ora, se a un bambino si mostrasse una freccia (diciamo pure una penna, per concretizzare) con la punta rivolta ad est, e poi la stessa freccia (penna) con la punta rivolta ad ovest, e gli si chiedesse di descrivere il movimento compiuto dalla freccia (penna) per arrivare dalla posizione inziale alla finale, la sua intelligenza incontaminata lo porterebbe a dire che prima la freccia si è alzata (e sposterebbe la penna in posizione verticale, a puntare verso nord, mimandone la rotazione) e poi si è abbassata (e la penna sarebbe riposizionata in orizzontale, ma con la punta in direzione opposta, attraverso una seconda rotazione che la porterebbe a indicare il senso opposto a quello di partenza).

Ehilà! Dobbiamo ruotare la freccia! E noi abbiamo a disposizione l'operatore i× che fa esattamente ciò di cui abbiamo bisogno ora: ruotare gli oggetti (frecce o penne che siano).

C'è solo un piccolo problema da smarcare.

La retta reale (finora) è tutto il nostro mondo, fuori dalla retta reale non c'è nulla, non esiste niente, non abbiamo cioè ancora nessuno spazio che la freccia possa percorrere, nessun luogo che la possa ospitare durante la sua rotazione, e nessun ambiente che la accolga alla fine del suo viaggio.

Dobbiamo allora creare spazi e luoghi opportuni, e li creiamo senz'altro, non per capriccio o convenzione, ma perché ci serve un ambiente dove far atterrare la freccia dopo averla moltiplicata per i× così come ci serve uno spazio da percorrere per fargliela arrivare.

Introduciamo allora una nuova retta perpendicolare alla retta reale - che chiameremo retta immaginaria - e avremo così creato anche un intero piano - il piano complesso - per consentire tutti i movimenti necessari.

Ora possiamo applicare l'operatore i× alla nostra freccia di lunghezza 1, per metterla in piedi, per farla puntare verso nord, perché moltiplicare la freccia per i vuol dire - per definizione - ruotarla in senso antiorario di 90°.

Ora possiamo vedere la freccia - moltiplicata per i - percorre il primo quadrante del piano complesso e disporsi sull'asse immaginario (senza che la parola immaginario evochi cose misteriose o oscure: è solo un nome).

Ora che la freccia si trova sull'asse immaginario le applichiamo una seconda volta l'operatore i×, le imprimiamo una nuova rotazione antioraria di 90°, che la riporta sull'asse reale, ma con verso opposto a quello di partenza.

Con l'uso ripetuto del numero immaginario i - con l'applicazione iterata dell'operatore i× alla freccia unitaria che inizialmente puntava a est - abbiamo dato corpo all'intuizione del bambino, ed evitato cambiamenti di direzione incomprensibili.

Con la prima applicazione (i× applicato a una freccia di lunghezza 1) la freccia si è messa sull'attenti, perpendicolare all'asse reale, ruotata di 90°, e abbiamo così ottenuto una freccia di lunghezza 1i, in cui la i sta lì a ricordarci che la freccia ora punta verso nord.

Con la seconda applicazione (i× applicato alla freccia di lunghezza 1i, cioè a una freccia verticale - puntata verso nord - di lunghezza 1) abbiamo realizzato un'altra rotazione antioraria di 90° che ha riportato la freccia a distendersi sull'asse reale, ma puntando ora verso ovest (e della nuova direzione abbiamo evidenza nel segno "-" davanti all'1).

E' un fatto generale, se ci si riflette un minimo.

Non si passa istantaneamente dall'alba alla notte: di mezzo ci sono la mattina, il pomeriggio e la sera, con varie sfumature (che - combinazione! - sono dovuti alla rotazione della Terra intorno al Sole).

Non si passa immediatamente da una stagione fredda (l'inverno) a una calda (l'estate): in mezzo ci sono periodi più miti (autunno e primavera) che annunciano il cambiamento.

E nemmeno Michael Jackson è mai riuscito a cambiar verso all'istante. Doveva ruotare anche lui, uscire dalla linea idealizzata che percorreva avanti e indietro, per poi ritornarvi guardando in direzione opposta alla precedente.

Se tutto questo discorso vogliamo ora esprimerlo in simboli, anziché a parole, non solo riesce più fluido, ma svela anche il mistero della radice quadrata di -1.

La freccia 1 diventa 1i, dopo averla moltiplicata una prima volta per i; diventa poi -1, dopo averla moltiplicata una seconda volta per i (ha sempre lunghezza 1, ma prima puntava a est e ora punta invece a ovest, e il segno "- " serve appunto a tenere memoria della diversa direzione).

Quindi:

primo passo: i×1=1i

secondo passo: i×(1i)=-1

L'espressione restituita dal secondo passo è così semplice che qualunque studente di prima media potrebbe sbrogliarla in un istante, ma noi eseguiamo comunque tutti i passaggi, per quanto elementari.

Si parte da qui:

i×(1i)=-1

Possiamo sicuramente togliere la parentesi tonda (che avevamo inserito solo per amor di chiarezza, per far capire che stavamo applicando una seconda volta i× al risultato, 1i, della prima applicazione).

i×1i=-1

Il numero 1 è l'elemento neutro del prodotto (moltiplicare un numero per 1 non lo altera) quindi possiamo toglierlo perché ridondante (così come è ridondante scrivere 3×1: equivale a scrivere 3):

i×i=-1

Qualsiasi numero a moltiplicato per sé stesso viene elevato al quadrato, si ha cioè a×a=a², e quindi nel nostro caso abbiamo:

i²=-1

da cui, infine:

i=√−1

Mettiamola così: la scrittura i²=-1 è un modo per dire che il punto di arrivo di una freccia di lunghezza unitaria ruotata due volte di 90°, in senso antiorario, è lo stesso che si avrebbe applicando alla freccia l'operatore -1×; solo il punto di arrivo è lo stesso, però, ché il tragitto è invece ben diverso, istantaneo e incomprensibile con l'uso dell'operatore r×, minimamente graduale e visualizzabile con la doppia applicazione dell'operatore i×.

Il fatto che si abbia i=√−1 è solo un accidente della storia, una convenzione di scrittura coerente con la scelta di indicare con √x quel numero y con la caratteristica di essere il quadrato di x, cioè y²=x; ma sul piano logico - in generale - la radice quadrata di una trasformazione x non è altro che una qualunque trasformazione y che ripetuta due volte equivale ad x, cioè tale che y×y=x, e così si spiega la notazione √−1.

Il prete francese Adrien-Quentin Buée - nel 1806 - scrisse una pagina definitiva sul significato (geometrico) dei numeri immaginari in rapporto ai reali.

"Parlo del segno piuttosto che della grandezza o dell'unità immaginaria. Infatti è un segno specifico che assegniamo all'unità reale e non una grandezza specifica in sé. E' un nuovo aggettivo attribuito a un sostantivo ordinario e ben noto, certo non un nuovo sostantivo. Tale segno non indica né addizione né sottrazione... Una grandezza che appare con il segno non si aggiunge, non si sottrae e non è uguale a nulla. La proprietà descritta da non si oppone a quelle descritte da + né da - ... indica semplicemente una direzione perpendicolare a quelle indicate da + e da -".

La chiosa è fulminante: la scrittura √−1 "indica semplicemente una direzione perpendicolare a quelle indicate da + e da -", indica cioè il nord ("i") o il sud ("-i") rispetto all'est (semiasse reale positivo, "+") e all'ovest (semiasse reale negativo, "-").

Tra il 1923 e il 1927 prende vita la Meccanica Quantistica,

la teoria delle interazioni tra le particelle atomiche e subatomiche,

che porterà a una riscrittura profonda delle basi della Fisica,

con implicazioni oggi visibili nella tecnologia a cui siamo così abituati.

Apparve sulla scena con due formulazioni apparentemente diverse

- meccanica delle matrici (Heisenberg, Born, Jordan) e ondulatoria (Schrödinger) -

ma ben presto si arrivò a dimostrarne la perfetta equivalenza,

(e fu Dirac a mettere a punto il formalismo generale della teoria).

Le grandezze della Meccanica Quantistica hanno per lo più natura ciclica, ondulatoria,

si esprimono perciò in termini angolari, e l'evoluzione degli stati quantistici

avviene per mezzo di rotazioni nello spazio di Hilbert con l'uso di esponenziali complessi,

come testimonia l'estensiva presenza del numero immaginario nelle formule più note.

Senza l'unità immaginaria la Meccanica Quantistica perderebbe non solo la sua eleganza,

ma anche la sua coerenza interna e in definitiva la corrispondenza con la realtà.

Niente male come carriera accademica per un numerino al principio qualificato "immaginario",

con l'idea di degradarlo ad un mero artificio matematico, senza appigli alla realtà fisica.

Mi piace chiudere con i passaggi del romanzo "Il teorema del pappagallo" di Guedj, dedicati ai numeri immaginari.

Quando il pappagallo Nofutur avvia la lezione su i, si abbandona a una serie di esercizi acrobatici.

Chiaro, no? Il pappagallo - chiamato a introdurre a suo modo ogni sessione di studio - è addestrato a roteare sul trespolo al momento di presentare il numero i, perché le rotazioni sul piano sono proprio ciò che si realizza con il numero i.

E la lezione si conclude con una bella composizione in rima che ripercorre la storia dei numeri immaginari, con quell'eco finale - "Non c'è che una soluzione: la regolarizzazione, zione, zione!" - a richiamare il moto ciclico di rotazione, il movimento di un oggetto che gira e rigira, ancora e ancora...

Per riassumere: i numeri reali r - gli operatori del tipo r× - alterano le dimensioni degli oggetti, li rendono più grandi o più piccoli, li dilatano e li riducono, a seconda che sia r>1 o 0<r<1, e al limite li capovolgono, se r=-1, in un modo che però rimane oscuro, e a ogni modo non sono capaci di ruotarli; serve un nuovo operatore definito bell'apposta, un'operatore manovella che chiamiamo immaginario e indichiamo con i, a cui assegneremo il compito di ruotare ogni oggetto di 90° in senso antiorario.

E' tutto qui, davvero non c'è altro - il numero reale r è un modificatore di dimensioni, il numero immaginario i è un rotatore di oggetti - e questo bignami sui reali e gli immaginari conduce dritti alle riflessioni conclusive del signor Ruche, nel romanzo di Guedj.

Il numero i: un semplice, banale, operatore di rotazione...

... capace di realizzare autentici capolavori matematici.

La Monna Lisa della matematica

I numeri reali alterano le lunghezze delle frecce, le dilatano e le riducono, il numero immaginario le ruota in un sol colpo di 90°.

Va da sé che (sotto)multipli dell'immaginario - (1/2)i 2i, 3i, ... - ruotano la freccia di 90° e ne alterano la lunghezza in proporzione al (sotto)multiplo.

Non ci rimane che completare il quadro con la possibilità di ruotare una freccia di un angolo arbitrario e allo stesso tempo modificarne la lunghezza.

Creiamo allora un nuovo numero c come accostamento tra un numero reale a e un numero immaginario bi (con b reale, coefficiente dell'immaginario i); lo chiameremo numero complesso - come proposto da Gauss - e lo indicheremo c=a+bi; i numeri reali saranno di conseguenza un caso particolare di numeri complessi (b=0) così come i numeri immaginari (a=0).

Il numero c si materializza sul piano complesso con una freccia di coordinate a (sull'asse reale) e b (sull'asse immaginario).

Se continuiamo a riferirci a una freccia unitaria adagiata sull'asse reale, allora la moltiplicazione per c ha l'effetto di ruotarla e modificarla in accordo con le coordinate (a, b).

Fissiamo a esempio a=1 e b=1, creiamo cioè il numero complesso c=1+i. La figura mostra cosa accade a una freccia unitaria reale (orientata verso est) quando viene moltiplicata per 1+i (quando si esegue la moltiplicazione 1×c).

La freccia di lunghezza 1 sull'asse reale è diventata una freccia di coordinate (1, 1) sul piano complesso, una volta moltiplicata per il numero c=1+i.

La geometria ci aiuta a caratterizzarla: abbiamo un quadrato di lato 1, di cui la nostra freccia è la diagonale, e quindi la sua misura è √2; la rotazione è la metà di un angolo retto, quindi equivale (in radianti) a π/4.

Aver moltiplicato la freccia unitaria reale (il numero 1) per il numero complesso c=1+i ne ha in definitiva causato una rotazione di π/4 e una dilatazione da 1 a √2 (in generale: moltiplicare una freccia reale di lunghezza arbitraria per 1+i significa ruotarla di π/4 e aumentarne la lunghezza in proporzione a √2).

A ogni numero complesso c=a+bi rimane quindi associata una prima coppia di numeri reali (a, b) espressiva delle coordinate della freccia sul piano complesso, ma anche una seconda coppia di numeri reali [ρ, θ] espressiva della sua lunghezza e del suo angolo di rotazione.

Abbiamo quindi tre scritture diverse, ma equivalenti, di un stesso numero complesso c: una algebrica (a+bi), un'altra in termini di coordinate cartesiane (a, b) e un'altra ancora in termini di coordinate polari [ρ, θ].

c = a+bi = (a, b) = [ρ, θ]

E volendo ne possiamo dare una quarta. E' sufficiente notare che il numero complesso a+bi disegna un triangolo rettangolo in cui le coppie (a, b) e [ρ, θ] rappresentano le misure caratteristiche: a e b misurano i due cateti, ρ l'ipotenusa e θ l'angolo opposto al cateto orizzontale; e parlare di angoli e triangoli ci porta dritti alla trigonometria, alle funzioni seno e coseno.

Facciamola vergognosamente semplice, avendo in testa il nostro triangolo rettangolo sul piano complesso:

il seno dell'angolo θ è la misura del cateto-altezza b in unità di ipotenusa ρ, sinθ=b/ρ;

il coseno di θ è la misura del cateto-base in unità di ipotenusa ρ, cosθ=a/ρ.

Seno e coseno di un angolo θ ci dicono quante volte l'ipotenusa sta dentro a ognuno dei due cateti (a meno del segno, influenzato dal quadrante in cui si trova il triangolo) e i loro valori dipendono solo dall'angolo θ, perché tutti i triangoli rettangoli con un angolo di ampiezza θ presentano gli stessi rapporti tra le lunghezze dei lati (e differiscono soltanto per la scala di misura).

Le misure dei lati del triangolo possono variare a piacimento,

ma se le ampiezze degli angoli sono preservate,

allora i rapporti tra i lati si mantengono costanti.

Dalle definizioni di seno e coseno segue a=ρcosθ e b=ρsenθ, quindi il numero complesso c=a+ib si può pure esprimere in forma trigonometrica:

c=a+bi=ρcosθ+(ρsinθ)i=ρ(cosθ+isinθ)

Hardy propose di indicare con cis(θ) il fattore (cosθ+isenθ) - coseno i seno - e con questa scrittura abbreviata possiamo allora scrivere:

c=ρcis(θ)

La forma trigonometrica si rivela particolarmente utile per eseguire le moltiplicazioni: il prodotto tra il numero c₁=[ρ₁, θ₁] e il numero c₂=[ρ₂, θ₂] è il numero c₃=[ρ₁ρ₂, θ₁+θ₂], vale a dire - visivamente - una freccia in cui si moltiplicano le lunghezze e si sommano le rotazioni delle frecce componenti.

Vediamola all'opera.

Partiamo dalla solita freccia unitaria adagiata sull'asse reale, che corrisponde a un numero complessoc_αcon parte immaginaria nulla (b=0, θ=0):

c_α=(1, 0)=[1, 0]=1

Ora prendiamo il numero complesso κ₁=(1, 1)=[√2, π/4]=1+i; il prodotto:

c_β=c_α×κ₁

ha l'effetto di ruotare di π/4 la freccia unitaria reale e di allungarla in proporzione a √2, crea cioè il numero complesso:

c_β=[1×√2, 0+π/4]=[√2, π/4]

Moltiplichiamo ora c_βper il numero complesso κ₂=(√2, √2)=[2, π/4]=√2+√2i:

c_γ=c_β×κ₂

Con la moltiplicazione per κ₂, il nostro numero c_β - di angolazione π/4 e lunghezza √2 - viene ruotato ancora di π/4 e allungato in proporzione di √2, diventa cioè il numero:

c_γ=[√2×√2, π/4+π/4]=[2, π/2]=2i

La nostra freccia iniziale - unitaria, reale - si è così trasformata in una freccia immaginaria di lunghezza doppia, attraverso la moltiplicazione per κ₁ e κ₂.

Fermiamoci e riflettiamo.

La moltiplicazione tra due numeri complessi, c₁=[ρ₁, θ₁] e c₂=[ρ₂, θ₂] è un numero in cui si moltiplicano le lunghezze ρ e si sommano le angolazioni θ. Abbiamo quindi una componente del numero complesso (la lunghezza) che recepisce l'operazione effettuata sul numero (la moltiplicazione) e un altra componente (l'angolazione) che invece la trasforma (da moltiplicazione in addizione). La lunghezza era già una caratteristica dei numeri reali, l'angolazione, invece, è specifica dei numeri complessi. Possiamo dire, quindi, che la componente reale segue l'operazione originaria (la moltiplicazione) mentre la componente immaginaria la trasforma (da moltiplicazione in addizione).

E qual è - nel campo reale - la funzione che trasforma la moltiplicazione degli argomenti di una funzione nella somma degli argomenti?

Per quale funzione reale f di variabile reale x avviene che f(x₁)f(x₂)=f(x₁+x₂)?

Già, proprio lei: la funzione esponenziale, o meglio, la classe di funzioni f(x)=α^x, con α numero reale positivo (fissato) e x numero reale (variabile).

Se abbiamo due funzioni esponenziali con la stessa base, f(x₁)=α^x^₁ e f(x₂)=α^x^₂, e ne eseguiamo il prodotto, otteniamo f(x₁)f(x₂)=α^x^₁α^x^₂, che per le proprietà delle potenze si può scrivere come f(x₁)f(x₂)=α^x^₁^+x^₂, proprio il valore della funzione f(x)=α^xcalcolata nel punto x=x₁+x₂:

f(x₁)f(x₂)=f(x₁+x₂)=α^x^₁^+x^₂

Qualcosa di simile succede quando eseguiamo il prodotto tra due numeri complessi, c₁=ρ₁cis(θ₁) e c₂=ρ₂cis(θ₂). Le lunghezze ρ si moltiplicano, ma la funzione cis(θ) si comporta esattamente come l'esponenziale nel campo reale:

c₁×c₂=ρ₁cis(θ₁)×ρ₂cis(θ₂)=ρ₁ρ₂×cis(θ₁)cis(θ₂)=ρ₁ρ₂×cis(θ₁+θ₂)

In matematica, come in ogni disciplina seria, non hanno rilevanza le cose in sé - il noumeno della filosofia sterile - ma solo le relazioni tra le cose, e se due cose esprimono una stessa proprietà caratterizzante, allora quelle cose sono la stessa cosa anche se in superficie si presentano diversamente.

f(x₁)f(x₂)=f(x₁+x₂)=α^x^₁^+x^₂

cis(θ₁)cis(θ₂)=cis(θ₁+θ₂)=[cos(θ₁+θ₂)+isin(θ₁+θ₂)]

Siamo quindi legittimati a mutuare la notazione esponenziale α^x per la funzione cis(θ), e scrivere quindi in forma compatta cis(θ)=α^θ, in luogo dell'espressione estesa cis(θ)=cos(θ)+isin(θ), perché α^x e cis(θ) si comportano allo stesso modo - ognuno nel proprio ambito - rispetto alla trasformazione di un prodotto in un'addizione.

Di conseguenza abbiamo ancora un'altra scrittura per il numero complesso c, la cosiddetta "forma esponenziale":

c=ρα^θ

Al momento, però, la rappresentazione esponenziale sconta un'indeterminatezza: qual è il valore esatto da attribuire alla base α?

Tutte le funzioni f(x)=α^xgodono della proprietà utilizzata per trasferire la notazione esponenziale dal campo reale al campo complesso, ma dobbiamo assegnare un valore preciso ad α se vogliamo caratterizzare in modo univoco il numero complesso c. Quindi? Quale valore dobbiamo dare ad α? Ci piacerebbe - in particolare - caratterizzare α in modo che recuperi il simbolo i, contenuto in cis(θ), ma non più formalmente presente nell'espressione α^θ. Come fare?

Non affrettiamo i tempi, e lasciamo pure la questione in sospeso. Limitiamoci per ora a registrare un fatto per molti versi sorprendente: nel campo C dei numeri complessi, le funzioni trigonometriche sen(θ) e cos(θ) - funzioni periodiche, oscillanti tra 1 e -1 - si scoprono collegate alle funzione esponenziale α^θ, con α ancora tutto da determinare, ma pur sempre funzione esponenziale, un oggetto che - nel campo R dei reali - è invariabilmente crescente o decrescente.

Ciò su cui ora appuntiamo l'attenzione è la moltiplicazione di un numero per sé stesso ripetuta più volte, ci interessa cioè l'elevamento a potenza nel piano complesso.

La moltiplicazione tra numeri complessi è un'operazione che ruota una freccia e ne altera la lunghezza. Moltiplicare un numero complesso [ρ, θ] per sé stesso n volte significa far ruotare un freccia n volte, ogni volta di un angolo θ, variandone la lunghezza a ogni giro in proporzione a ρ.

Riprendiamo il numero c=1+i=(1, 1)=[√2, π/4], che in forma trigonometrica si scrive così:

c=√2[cos(π/4) + isin(π/4)]

Il numero c - la base - è una freccia di lunghezza √2 (all'incirca 1,4) e angolazione π/4.

L'elevamento al quadrato di c produce una rotazione antioraria di π/4 (la freccia si porta in una posizione con angolazione π²/16) unitamente a un'estensione di √2 (la lunghezza della freccia diventa 2).

Se eleviamo al cubo - c³=c²×c - abbiamo una nuova rotazione di π/4 (l'angolazione della freccia è ora π³/64) e un'altra estensione proporzionale a √2 (che porta la lunghezza a 2√2).

Con l'elevamento a potenza la freccia iniziale di coordinate (1,1) - o se si preferisce di lunghezza e angolazione (√2, π/4) - inizia dunque a ruotare nel piano complesso, con velocità di rotazione π/4, e ad allungarsi a ogni giro in proporzione a √2.

La figura riporta la traiettoria seguita dal punto c^k sul piano complesso, con k=0, 1, 2, ..., 20, e come si vede è un punto che scappa via, che si allontana indefinitamente dall'origine a ogni elevamento a potenza, in ragione del fatto che ρ=√2 è maggiore di 1.

Prendiamo ora il numero c=1/2+1/2i=(1/2, 1/2)=(√2/2, π/4) che in forma trigonometrica si scrive:

c=[√2/2]×[cos(π/4) + isin(π/4)]

Il numero c - la base - è una freccia di lunghezza √2/2 (circa 0,7) e angolazione π/4.

Elevare c al quadrato significa ruotare la freccia di π/4 (nuova angolazione: π²/16, come nel caso precedente) e contrarne la lunghezza di √2/2 (nuova lunghezza: (√2/2)×(√2/2)=0,5).

Con l'elevamento al cubo si ha una terza rotazione di π/4 (nuova angolazione: π³/64) e un'altra riduzione di lunghezza proporzionale a √2/2 (nuova lunghezza: (√2/2)×(√2/2)×(√2/2)=√2/4, circa 0,35).

Ancora una volta, quindi, la freccia unitaria reale ruota nel piano complesso con velocità π/4, ma a ogni elevamento a potenza stavolta si contrae, e il punto c^k - nella figura rappresentato per k=0, 1, 2, ..., 20 - tende a collassare sull'origine.

L'elevamento a potenza di un numero complesso crea figure simili a delle spirali, più o meno aggraziate a seconda dei valori di ρ e θ, e che si allontanano o si avvicinano all'origine a seconda che ρ sia minore o maggiore di 1.

Si intuisce allora che se ρ=1 il punto c^k si muoverà sempre sulla circonferenza di raggio unitario, con passo dettato da θ.

La figura seguente descrive ad esempio il movimento circolare di c^k, per ρ=1 e θ=π/10.

La freccia unitaria reale arriva sull'asse immaginario in cinque passi, dopo cinque elevamenti a potenza, (π/10)×5=π/2; servono altri cinque passi per tornare sull'asse reale, ma con verso opposto; cinque nuovi passi e rieccoci sull'asse immaginario, a puntare verso sud; cinque passi ancora e si è ritornati al punto di partenza.

Per ρ=1 e θ=π/20 il tragitto è lo stesso, ma è compiuto più lentamente, perché ci vogliono 10 passi per spostarsi da un asse all'altro.

Fissato ρ=1, il valore di θ regola la velocità con cui il punto si muove sulla circonferenza unitaria: tanto più θ è piccolo quanto più il movimento è dolce, senza scatti significativi; quanto più θ è elevato tanto più lo spostamento è brusco, scattoso.

Se θ=π si arriva subito dall'asse reale all'asse immaginario, si passa a gran velocità da +1 a -1, senza sostare sull'asse immaginario.

Se θ=π/2 abbiamo l'equivalente del movimento di un soldato a cui venissero ordinati due "fianco sinistr" consecutivi: con due rapidi passi finisce col rivolgere le spalle alla direzione opposta a quella in in cui guardava all'inizio.

Se θ=π/n, con n elevato, abbiamo la delicata giravolta di una ballerina classica, che alla fine guarderà anch'essa n direzione opposta a quella di partenza.

Tutti questi movimenti condividono le posizioni iniziale e finale, ma l'armonia con cui compiono il tragitto è diversa.

Come possiamo rendere il movimento il più delicato possibile? Bisognerebbe rendere l'angolazione arbitrariamente piccola (π/n→0) e perciò far diventare il numero di volte che si eleva a potenza arbitrariamente grande (n→∞).

E cosa accade al numero c=[cos(π/n)+isin(π/n)]ⁿ quando n aumenta indefinitamente?

La risposta si può dare in due passi: prima si vede cosa succede a c al crescere di n e dopo si vede come si comportano le potenze n-esime dell'espressione di c ricavata al passo precedente.

Primo passo. Quando n aumenta, l'ampiezza dell'angolo π/n tende a zero; e quando l'angolo tende zero, il coseno tende a 1, quindi al posto di cos(π/n) possiamo mettere 1; il seno tende invece a zero, ma se al posto di sin(π/n) mettiamo zero, il gioco finisce, perché la parte immaginaria scompare; fortunatamente sin(π/n) tende a zero con la stessa velocità di π/n, quindi possiamo dire che sen(π/n) tende a π/n, perché sin(π/n) è tanto più vicino a π/n quanto più n è elevato; ne segue che quanto più n aumenta, quanto più il numero complesso (in forma trigonometrica) cos(π/n)+isin(π/n) si avvicina al numero complesso (in forma algebrica) 1+(π/n)i.

Secondo passo. Il primo passo ci ha restituito il numero 1+(π/n)i come una buona approssimazione di cos(π/n)+isin(π/n), quando n è elevato; ora vogliamo sapere come si muovono le potenze n-esime di 1+(π/n)i al crescere di n, dove va cioè il numero [1+(π/n)i]ⁿ via via che n aumenta. Niente di meglio che disegnarle, queste potenze. Facciamolo prima per quattro valori prossimi tra loro (n=10, 20, 30, 40) per cogliere la dinamica iniziale, e poi compiamo un salto a valori più elevati (n=100, 500) per vedere di fatto la fine della storia. Fissiamo quindi n=10, prendiamo il numero [1+(π/10)i] e ne calcoliamo le prime dieci potenze (partendo da zero); poi passiamo a n=20, al numero [1+(π/20)i], di cui calcoliamo le prime venti potenze; e via così per tutti i valori di n selezionati.

Si parte sempre dal punto 1 sull'asse reale, perché tra le potenze si è inclusa quella a esponente nullo.

Fissiamo n=10 e calcoliamo le prime 10 potenze di [1+(π/10)i]. Il punto [1+(π/10)i]ⁿinizia a ruotare e quando arriva sull'asse immaginario è finito fuori dal semicerchio unitario; riprende poi la discesa verso l'asse reale, senza arrivare a toccarlo (perché ci si è appunto fermati alla potenza n=10).

Fissiamo adesso n=20 e procediamo col calcolo delle prime venti potenze di [1+(π/20)i]. La traiettoria è qualitativamente simile alla precedente ma già visibilmente più contratta; all'incontro con l'asse immaginario il punto sta sempre fuori il cerchio unitario, ma molto meno che nel caso n=10; così come non arriva ancora a toccare l'asse reale, ma ora ci si avvicina di più.

Gli andamenti per n=30 e n=40 lasciano presagire il finale della storia, e le traiettorie per n=100 e n=500 confermano l'intuizione: quando n tende a diventare arbitrariamente grande, il punto [1+(π/n)i]ⁿtende a muoversi sul semicerchio unitario, parte da 1 e arriva -1 col più aggraziato dei movimenti possibili.

In formule si scrive così:

lim[1+(π/n)i]ⁿ=-1, per n→∞

e non serve chissà quale sensibilità per avvertire un'aria familiare, per riconoscere nel limite un viso noto.

Il giochetto del banchiere infinitamente generoso aveva portato a definire la legge di capitalizzazione (1+1/n)ⁿe il passaggio al limite era servito per definire il numero e.

Ora, se poniamo z=πi, il nostro numero complesso [1+(π/n)i]ⁿ lo possiamo scrivere come (1+z/n)ⁿ, che è la gemella omozigote della (1+x/n)ⁿ, con la sola differenza che x è un numero reale e z invece è un numero immaginario.

E se il limite di (1+1/n)ⁿ ci aveva restituito il numero e, e più in generale (1+x/n)ⁿ convergeva alla funzione e^x, è un atto spontaneo - per quanto un matematico puro lo giudicherà temerario - traslare la stessa notazione al campo complesso, e dire che e^z è il limite di (1+z/n)ⁿ per n che tende a infinito:

e^z=-1

cioè:

e^z+1=0

e se ci ricordiamo della posizione z=πi, ecco che vien fuori la più bella formula di tutta la matematica:

eⁱ^π+1=0

Potevamo arrivare allo stesso risultato per una via più diretta - che ora vediamo - ma intanto era importante persuadersi di un numero puramente immaginario (eⁱ^π) che attorcigliandosi su sé stesso produce un numero reale, anzi addirittura intero (-1).

Abbiamo visto che la componente immaginaria cis(θ)=cos(θ)+isin(θ) di un numero complesso si può esprimere in forma esponenziale, α^θ, anche se avevamo lasciato indeterminato il valore di α. Proviamo ora individuarlo, imponendo alcune restrizioni intuitive. Vogliamo in pratica caratterizzare la funzione f(θ)=α^θ con un valore preciso per α, nel modo più naturale possibile.

Partiamo come sempre da una freccia reale unitaria, una freccia di lunghezza 1 distesa sull'asse reale, quindi con angolazione nulla, θ=0. Tradotto nei termini della nostra funzione f(θ) ciò significa che la condizione iniziale da cui muoviamo è f(0)=1.

Ora noi vogliamo far girare la freccia f(θ) con un movimento continuo, senza scatti. Cosa vogliono dire - formalmente - le espressioni movimento continuo e senza scatti? Possono voler dire - ad esempio - che la nostra freccia deve percorrere spazi unitari in tempi unitari, o se si vuole, che la freccia deve preservare la sua velocità istante per istante, in modo da trovarsi sull'asse immaginario dopo un tempo π/2, ritornare sull'asse reale dopo un tempo π, e compiere un giro completo in 2π unità temporali, per cui, in definitiva, si viene a creare una perfetta coincidenza tra la dimensione temporale t e l'ampiezza dell'angolazione θ.

L'espressione istante per istante si traduce - in linguaggio matematico - con le scritture dθ e df(θ): dθ rappresenta - per la coincidenza tra angolazione e tempo - un tempo di ampiezza infinitesima e df(θ) è l'associata variazione di f(θ) in quel tempuscolo.

Quel che noi vogliamo è una sequenza di variazioni df(θ) infinitesime, in tempuscoli dθ infinitesimi, che porti f(θ) sull'asse immaginario: si tratta cioè di concepire la rotazione di 90° della freccia, f(θ)i, come l'effetto di un'infinità di spostamenti df(θ) infinitesimi in tempi dθ infinitesimi, ciò che in linguaggio matematico si scrive nella forma df(θ)=f(θ)i.

Per riassumere: abbiamo una condizione sulla posizione iniziale della freccia, f(0)=1, e una condizione sul movimento a cui la freccia obbedisce, df(θ)=f(θ)i, e dobbiamo ricavare l'espressione esplicita f(θ) della nostra freccia.

Trovare la funzione f(θ) tale che f(0)=1 e df(θ)=f(θ)i

Il problema richiede di caratterizzare una funzione f(θ)

sapendo che la posizione iniziale equivale a una freccia di lunghezza unitaria

e che i movimenti avvengono lungo la circonferenza, con velocità unitaria.

Ladies and gentleman, c'è un solo movimento che possiede le caratteristiche desiderate, una sola funzione f(θ) che soddisfa i nostri requisiti, e l'abbiamo già incontrata quando abbiamo presentato i personaggi che danno vita a eⁱ^π+1=0: è la funzione esponenziale per eccellenza, la funzione esponenziale con base e, che nel campo reale viene fuori nella forma f(x)=e^x come soluzione del problema df(x)=f(x)dx, con f(0)=1, e che qui prende invece la forma f(θ)=eⁱ^θ, visto che il problema è df(θ)=f(θ)i, con f(0)=1.

Ecco allora che eⁱ è il valore naturale da attribuire alla base α, nella scrittura esponenziale α^θ(sinora lasciata generica) utilizzata per cis(θ).

Il numero complesso c=[ρ, θ] si scrive allora così, in forma esponenziale:

c=ρeⁱ^θ

e siccome ci siamo concentrati esclusivamente sulle frecce unitarie (ρ=1) abbiamo

c=eⁱ^θ

Ma eⁱ^θ altro non è che la versione esponenziale della funzione cis(θ)=cos(θ)+isin(θ):

eⁱ^θ=cos(θ)+isin(θ)

e se all'angolo θ diamo il valore π, e ci ricordiamo che cos(π)=-1 e sen(π)=0, ecco che sbuca fuori di nuovo la più bella formula di tutta la matematica:

eⁱ^π+1=0

La "Gioconda" fu dipinta su una tavola di pioppo molto sottile e col tempo il pannello si è incurvato; si è anche aperta una ampia fessura sul retro; altri danni sono stati causati da attacchi vandalici, con acidi e sassi. Il quadro fu trafugato, nel 1911, da Vincenzo Peruggia, perché - a suo dire - l'italianità dell'opera non ne giustificava la permanenza in Francia. Il dipinto è oggi esposto al Museo del Louvre di Parigi, dietro un vetro infrangibile, a temperatura e umidità costanti, tenuto a debita distanza dai visitatori da un cordone di sicurezza. Il prestito ad altri musei è un evento altamente improbabile.

E la nostra Monna Lisa eⁱ^π+1=0, invece? Lei non teme l'usura del tempo, la corrosione degli acidi, la violenza dei sassi. Attraversa i secoli, spavaldamente, senza paura. Incantevole e elegante, meraviglia gli iniziati, senza smettere di affascinare chi già la conosce. Non ci sono vetri a offuscarla, né cordoni a tenerla a distanza. Nessuno può rubarla, al più - suo danno! - può rifiutarsi di capirla. E lì, alla portata di tutti, in qualunque momento: su un foglio di carta, su un file word, su un foglio Excel, o raffigurata in testa, sempre ugualmente bella.

E, più d'ogni altra cosa, c'è voluto un genio per trovarla, ma oggi tutti possono capirla, e farla propria, come se ne fossero gli autori.

Nel retrobottega dell'artista

Che tormento, la divulgazione!

Presto o tardi si perde l'attenzione del pubblico generalista a cui è indirizzata, ma che prima o poi troverà l'esposizione comunque troppo tecnica per essere seguita sino alla fine. Gli specialisti - per contro - arricceranno il naso e alzeranno il sopracciglio sin dal primo rigo, perché troveranno tutto insopportabilmente grossolano e approssimativo, se non proprio sbagliato.

I professionisti della matematica sono estremamente critici verso il tipo di presentazione che abbiamo offerto di eⁱ^π+1=0; denunciano - a ragione - il ricorso a un eccesso di analogie (non dimostrate) tra i numeri reali e i numeri complessi; si ipotizza - quasi si spera, con le dita incrociate - che certe cose vere in R rimangano vere pure in C; e il fatto che sia effettivamente così - e che quindi alla fine le analogie tengono - non nobilita le analogie, non le trasforma nell'asse portante del ragionamento, di ciò che vogliamo sostenere e giustificare.

Sappiamo che la sequenza {e_n=(1+1/n)ⁿ, n=1, 2, ...} converge al numero e per n che tende a infinito, nel campo reale; così come la sequenza {e_n(x)=(1+x/n)ⁿ, n=1, 2, ...} converge alla funzione f(x)= e^x.

Ma chi ci garantisce - chi ci assicura al 100% - che anche la sequenza {e_n(i)=(1+i/n)ⁿ} convergerà a eⁱ , nel campo complesso?

Abbiamo visto il numero complesso c_n=[1+(π/n)i]ⁿattorcigliarsi su sé stesso all'aumentare di n, d'accordo, e abbiamo sotto i nostri occhi una sequenza {c_n, n=1, 2, ...} che chiaramente tende a posizionarsi sul cerchio unitario al crescere di n, ma cosa legittima effettivamente la traslazione dalla notazione eⁱ^π a c_n per per n→∞, di là delle analogie formali che non sembrano lasciare spazio ad alternative?

Brutte bestie i matematici: non te li compri con due analogie e quattro formalismi. Loro - i matematici - vogliono prima essere sicuri delle liceità di certe operazioni e notazioni, e dopo, eventualmente, colorarle con l'intuizione dell'analogia formale.

Ritorniamo per un momento nel campo reale. La scrittura e^x definisce una funzione reale di variabile reale: è la regola che trasforma un generico numero reale x nel numero reale e^x. Similmente, nel campo complesso, e^zsarà una funzione complessa di variabile complessa, la regola che trasforma un generico numero complesso z=a+bi, nel numero complesso e^z.

Ohibò! Ci troviamo all'improvviso di fronte a una funzione complessa di variabile complessa. E che oggetto è? Com'è fatta? Che caratteristiche possiede? La si può visualizzare?

Con una funzione reale di variabile, y=f(x), noi trasformiamo un numero reale x in un numero reale y, per mezzo della regola f: se la nostra f eleva al quadrato il numero x che le si dà in pasto - se è f(x)=x² - allora x=2 diventa y=4, x=2,5 diventa y=6,25, x=3 diventa y=9, x=3,14 diventa y=9,8596 e così via.

Con una funzione complessa di variabile complessa, allo stesso modo, trasformiamo un numero complesso in un altro numero complesso, e poiché ogni numero complesso è identificato da una coppia di numeri reali, una funzione di variabile complessa sarà una regola che a una coppia di numeri reali associa un'altra coppia di numeri reali.

Assegnato il numero complesso z=a+bi=[a, b], una funzione complessa f di variabile complessa z prenderà la forma generale:

w=f(z)=u(a, b)+v(a, b)i

in cui u e v sono due funzioni che trasformano la coppia di numeri reali (a, b) in un un numero reale - uno per u, uno per v - quindi il numero complesso f(z) è identificato dalla coppia di numeri reali {u(a, b), v(a, b)}.

Tutto semplice e intuitivo, sin qui, ma serve cautela nella messa a punto della funzione f, se non si vuol smembrare il numero z di partenza sino a renderlo irriconoscibile, perdendo così la dipendenza tra z e f(z).

Vediamolo con l'esempio più semplice, quello delle funzioni u e v lineari.

u(a, b)=aα_u+bβ_u+γ_u

v(a, b)=aα_v+bβ_v+γ_v

in cui le terne di numeri reali (α_u, β_u, γ_u) e (α_v, β_v, γ_v) sono i parametri - ipotizzati fissati - delle funzioni u e v.

In generale, la funzione f(z) lineare prende la forma:

f(z)=[aα_u+bβ_u+γ_u]+[aα_v+bβ_v+γ_v]i

Potete ora trascorrere un bel quarto d'ora a eseguire i prodotti della parte immaginaria, e poi arrangiare il tutto mettendo a fattor comune le a e le b, con le regole del calcolo letterale studiate alle scuole medie; dopo un po' di maneggi, arriverete qui:

f(z)=(α_u+α_vi)a+(β_u+β_vi)ib+(γ_u+iγ_v)

Oh, fermi tutti! Che fine ha fatto il numero z da cui eravamo partiti?

Dov'è la coppia [a, b]? Dove sono la parte reale e la parte immaginaria della variabile indipendente z da dare in pasto alla funzione f(z)?

Non si vede più nulla!

Il numero z si è polverizzato, le sue parti si sono sparpagliate qua e là, e senza una z come fa ad esserci una f(z)?

I coefficienti delle funzioni u e v - siamo al punto decisivo - non si possono scegliere a piacere. Dobbiamo vincolarli, se vogliamo lasciare intatto z e di conseguenza f(z); precisamente serve imporre le restrizioni:

α_u=β_v,α_v=-β_u

perché solo così possiamo scrivere:

f(z)=(α_u+α_vi)(a+ib)+(γ_u+iγ_v)

o in forma compatta:

w=µz+Ω

avendo posto µ=(α_u+α_vi), Ω=(γ_u+iγ_v), w=f(z) e ovviamente z=a+ib.

Ora sì che abbiamo un numero complesso w collegato a un altro numero complesso z, attraverso una funzione complessa f (z) di variabile complessa z, chiaramente riconoscibile.

Qual è l'effetto su f(z) delle restrizioni imposte ai parametri (α_u, β_u) e (α_v, β_v) di u e v?

La cosa migliore sarebbe vederlo, mostrare il grafico della funzione f(z) per capire cosa le accade. Sì, sarebbe la cosa migliore, peccato che non si possa fare.

Indietreggiamo di un passo e torniamo tra i numeri reali, alle funzioni reali f(x) di variabile reale x.

Abbiamo un numero reale x, che vive su una retta (l'asse delle ascisse), associato a un altro numero reale y=f(x), che vive su un altra retta (l'asse delle ordinate) perpendicolare alla prima. Per visualizzare la nostra f(x) non dobbiamo far altro che mettere assieme le due rette (le ascisse e le ordinate) e così creiamo un piano, in cui possiamo vedere come si muove y al variare di x.

Ma cosa accade quando ci spostiamo sulle funzioni complesse w=f(z) di variabile complessa z?

La variabile indipendente z è un numero che vive su un piano (il piano complesso) cioè in un ambiente a due dimensioni; la variabile dipendente w è un numero che vive in un altro piano (un secondo piano complesso) altro ambiente a due dimensioni; quando mettiamo assieme l'ambiente in cui vive z e l'ambiente in cui vive w - come faremmo con le ascisse e le ordinate, per le funzioni reali di variabile reale - ne fuori uno spazio a quattro dimensioni (due per rappresentare z, due per rappresentare l'associato w) e noi - esseri tridimensionali - non possiamo percepire nella loro globalità oggetti che vivono in dimensioni superiori.

Una funzione complessa di variabile complessa non si può quindi visualizzare con la stessa immediatezza di una funzione reale di variabile reale, ma possiamo ancora formarci un'idea su come è fatta, attraverso trucchetti, escamotage e approssimazioni.

Conviene reinterpretare la grafica delle funzioni reali per favorire poi la lettura delle funzioni complesse. Più che ricorrere al tradizionale piano cartesiano - con la x in ascissa, la y in ordinata e la f(x) a occuparlo - è più opportuno immaginare la f(x) come una "distorsione" della linea dritta rappresentata dalla x. Prendiamo ad esempio una funzione lineare (y=2x), una quadratica (y=x²) e una esponenziale (y=e^x), che per semplicità limitiamo ai valori positivi di x da 0 a 5.

Si parte sempre da una stessa linea, in posizione dritta; e di volta in volta la si "altera" - una è inclinata (2x), un'altra incurvata verso l'alto (x²) e una piegata ancor di più (e^x) - per cui si può dire che una funzione reale di variabile reale f(x) è un meccanismo che modifica la forma di una linea dritta; in alcuni casi la inclina, in altri le distorce verso l'alto (come negli esempi mostrati) e in altri ancora potrebbe piegarle verso il basso (come per le funzioni y=logx o y=√x) oppure combinare i due effetti (y=1/x); qualunque cosa accada, la percezione qualitativa è sempre la stessa, e cioè la funzione f(x) altera la forma di una linea x che nasce dritta.

Ci troviamo nella stessa situazione davanti a una funzione complessa w=f(z) di variabile complessa z: non possiamo rappresentarla graficamente nella sua quadridimensionalità - percepirla "come mamma l'ha fatta" - ma possiamo ancora vedere come il piano di partenza in cui sta z viene alterato da f(z) nel piano di arrivo in cui sta w.

Il piano di partenza lo immaginiamo anche qui "dritto" - sulla falsariga della linea "dritta" di partenza per le funzioni reali di variabile reale - nel senso che tiriamo delle linee parallele all'asse delle ordinate da una serie di punti equi-distanziati sulle ascisse, e poi realizziamo l'operazione speculare, tirando linee parallele all'asse delle ascisse da una serie di punti ugualmente equi-distanziati sulle ordinate, avendo così "quadrettato" l'intera superficie (che converrà colorare per tener memoria delle posizioni dei vari quadratini).

Cosa fa una funzione complessa di variabile complessa? Distorce il piano di partenza, proprio come la funzione reale di variabile reale distorce la linea dritta.

La funzione y=2x si limitava a inclinare la linea, lasciandola dritta. Lo stesso avviene con l'analoga funzione nel campo complesso, w=µz+Ω. Per un'opportuna scelta dei parametri µ e Ω - a esempio - il piano di partenza può disporsi così.

La figura - pur specifica di una parametrizzazione particolare di una funzione particolare - rivela una peculiarità di tutte le funzioni complesse di variabile complessa (e spiega il senso delle restrizioni α_u=β_v e α_v=-β_uimposte alla funzione lineare).

Sin quando rimaniamo nel campo reale, a maneggiare funzioni reali di variabile reale, non abbiamo limiti nel concepire una forma per f, e sul piano cartesiano (x, y) possiamo disegnare di tutto (storcere la nostra linea di partenza come ci pare, come vogliamo, e avremo sempre la x da un parte, la y dall'altra, e la f che le collega, tutte ben riconoscibili).

Ma le cose cambiano, quando ci spostiamo sul piano complesso. Ora siamo obbligati a imporre delle restrizioni alle nostre funzioni, affinché le variabili z e w, e la funzione f che li connette, preservino la loro identità. E il significato di queste restrizioni - nella sua essenza - è nell'imporre un piano di arrivo che sia ancora "a maglie quadrate" come quello di partenza.

La funzione w=µz+Ω ha inclinato il piano, che però è rimasto "quadrettato", e questa condizione di "quadrettatura" è cruciale per le funzioni complesse di variabile complessa, che possono sì alternare il piano originario, ma devono lasciare invariati gli angoli a 90°, per cui le curve che si osservano dopo aver trasformato z in w, tramite f, devono rimanere ortogonali.

Per dirlo con un slogan: si hanno maglie quadrate all'inizio (nel piano complesso dove sta z) si devono continuare ad avere maglie quadrate alla fine (nel piano complesso dove sta w) perché solo così possiamo riconoscere z all'interno di f.

"Si potrà pensare che nulla vi sia da aggiungere

essendo evidente che basta prendere ad arbitrio due funzioni u e v

per definire nel modo più generale un numero complesso w=v+vi

variabile in funzione del numero complesso z=a+bi.

Ma invece il concetto di funzione nel campo complesso deve interpretarsi in senso molto più ristretto.

Fra le funzioni nel senso generale del termine che così si verrebbero a considerare

[ci interessano solo] quelle [che] godono di una proprietà particolare

che caratterizza le funzioni analitiche e per esse solo c'è scopo e utilità

ad interpretare a+bi e e u+iv come numeri complessi,

mentre in ogni altro caso ciò costituirebbe un inutile artificio

e converrebbe senz'altro parlare di due funzioni reali u e v di due variabili reali a e b,

oppure di corrispondenza fra i punti di due piani, senza far intervenire i numeri complessi.

Perciò quando si pala di funzioni di variabile complessa si sottintende sempre analitiche"

La restrizione può forse lasciare delle perplessità: come fa un quadratino nel piano di partenza a rimanere un quadratino - più grande, più piccolo, girato, inclinato, ma sempre quadratino - sul piano di arrivo, se la funzione f - in generale - distorce le linee?

Prendiamo ad esempio la funzione f(z)=z², con cui il numero complesso z=(a+bi) viene trasformato nel numero complesso w=(a+bi)², e mostriamola sui piani di partenza e di arrivo.

Sul piano di arrivo si incrociano delle linee curve - distorte dall'elevamento al quadrato - che se pure danno origine a forme che evocano dei quadrati, è ovvio che quadrati non sono, perché un quadrato si ottiene solo ed esclusivamente dall'incrocio di linee dritte e ortogonali.

Cosa vuol dire, quindi, che a quadratini sul piano di partenza devono corrispondere dei quadratini sul piano di arrivo?

Qual è il significato esatto da attribuire a questa richiesta, se quadratini in senso proprio si possono ottenere solo con funzioni lineari del tipo w=µz+Ω?

Cosa imponiamo, di fatto, a tutte le altre funzioni f(z)?

Lo possiamo dire in due modi equivalenti, uno più formale, l'altro meno.

Con linguaggio formale, chiediamo che a formare un quadrato sia l'incrocio tra le tangenti ai vertici delle figure di forma simil-quadrata.

In parole semplici, vogliamo che le nostre figure simil-quadrato approssimino sempre meglio un quadrato vero e proprio quanto più le striscioline si fanno piccole (come si vede nel grafico di f(z)=z²).

E ora - smarcato il punto tecnico - vediamo come definire la funzione esponenziale complessa.

L'esponenziale complessa, in termini di piano di partenza e piano di arrivo.

Vogliamo dare un significato alla scrittura f(z)=e^z, in cui z=a+bi.

Passo iniziale: sostituiamo a z la sua espressione in e^z, e otteniamo f(z)=e^a+bi.

Secondo passo: ci ricordiamo che nel campo dei numeri reali l'esponenziale di una somma è il prodotto degli esponenziali degli addendi (e^x+y=e^xe^y) e noi vogliamo che un proprietà così caratterizzante continui a valere anche nel campo complesso, quindi scriviamo senz'altro e^a+bi=e^ae^bi; sia chiaro che fattorizzare e^a+bi in e^ae^bi è una definizione del primo membro in termini del secondo, col pregio di essere coerente con le regole del campo reale - quelle sì, dimostrate - perché noi non sappiamo cosa sia e^a+bi fin quando non lo definiamo (così come non sappiamo cosa sia x^1/2 fin quando non stabiliamo che x^1/2=√x, per conferire agli esponenti frazionari le stesse proprietà degli esponenti interi).

Passo numero tre: avendo e^ae^bi nello specchietto retrovisore, ci ricordiamo che nella nostra scorribanda tra i numeri complessi li avevamo caratterizzati come prodotto tra due numeri (ρα^θ) in cui l'esatto valore di α era rimasto in sospeso; osserviamo che ρ è un numero reale come e^a; ma allora e^bi ha lo stesso significato di α^θ, e così diventa chiaro che si ha α=eⁱ e b=θ; la funzione esponenziale complessa trasforma cioè il numero complesso (in forma algebrica) z=a+bi nel numero complesso di coordinate polari e^a=ρ e θ=b.

Quarto e ultimo passo: tutto molto bello, ma... perché abbiamo preso proprio e come base per l'esponenziale complesso? L'intero ragionamento - sin qui - terrebbe per qualsiasi altro numero. Cosa ci impedisce di assegnare ad α - per dire - il valore 2ⁱ? Anche con 2ⁱ - o con qualunque altro numero - i tre passi precedenti rimarrebbero veri. E allora? Perché proprio e? Semplice: perché soltanto e assicura un piano di arrivo a "maglie quadrate"!

Una corona circolare è la parte di superficie compresa tra le due circonferenze,

caratterizzata da un raggio esterno (R) e un raggio interno (r),

e il grafico dell'esponenziale complesso altro non è che una sequenza di corone circolari.

Ora, se si vuole ottenere una rete a maglie quadrate,

si dovranno tracciare circonferenze sempre più diradate verso l'esterno

e sempre più addensate verso il centro,

e precisamente secondo una progressione geometrica per i raggi.

I settori di corona circolare sottesi da un medesimo angolo sono simili

se hanno il medesimo rapporto tra raggio esterno e interno.

E la ragione della progressione deve essere e^θ,

se θ è l'angolo tra rette consecutive della raggiera,

che insieme a quei cerchi formano la rete.

Il settore di corona circolare di apertura θ e raggi r=ρ e R=kρ

è "quadrato" se e solo e ρθ=ρ(k-1), e per valori piccoli di θ risulta e^θ≈1+θ

- approssimazione tanto migliore quanto più θ è piccolo -

e quindi solo la scelta k=e^θ assicura che, al ridursi di θ, le maglie diventino quadrate.

Le condizioni per un piano di arrivo "quadrettato" sono le equazioni di Cauchy-Riemann,

che vincolano tra loro le derivate parziali delle funzioni u(a,b) e v(a, b),

e si tratta di vincoli sono così stringenti che a un'assegnata funzione u(a, b)

può associarsi una sola funzione v(a, b) - e viceversa - a meno di una costante

(si tratta della generalizzazione delle condizioni già viste per le funzioni lineari).

Per la la funzione complessa e^zdi variabile complessa z

si ha la parte reale Re(e^z)=u=e^acosθ e la parte immaginaria Im(e^z)=v=e^bsinθ.

Le derivate parziali di u(a, b) e v(a, b) sono pertanto:

∂u/∂a=e^acosθ, ∂v/∂b=e^bcosθ,

∂u/∂b=-e^bsin(θ), ∂v/∂a=e^asin(θ);

e le equazioni di Cauchy-Riemann sono soddisfatte.

Qualsiasi altra funzione esponenziale, ad esempio 2^z, le violerebbe

e non sarebbe quindi ammissibile nel campo complesso.

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